Номер 245, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

245. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = x^2 + 3;$

2) $f(x) = 6 - \sqrt{x};$

3) $f(x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}.$

1) Для функции $f(x) = x^2 + 3$.
Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения для любого действительного $x$, то есть $x^2 \ge 0$. Наименьшее значение выражения $x^2$ равно 0 и достигается при $x=0$. Чтобы найти область значений функции $f(x)$, мы прибавляем 3 к значениям $x^2$. Следовательно, $x^2 + 3 \ge 0 + 3$, что означает $f(x) \ge 3$. Поскольку $x^2$ может быть сколь угодно большим, то и $f(x)$ может принимать сколь угодно большие значения. Таким образом, область значений функции — это все числа, начиная с 3 и до бесконечности.
Ответ: $E(f) = [3, +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = 6 - \sqrt{x}$.
Сначала определим область определения функции. Квадратный корень $\sqrt{x}$ определен только для неотрицательных чисел, поэтому $x \ge 0$. Значения арифметического квадратного корня $\sqrt{x}$ также неотрицательны, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Умножим это неравенство на -1, что приведет к изменению знака неравенства на противоположный: $-\sqrt{x} \le 0$. Теперь прибавим 6 к обеим частям неравенства: $6 - \sqrt{x} \le 6$. Это означает, что $f(x) \le 6$. Наибольшее значение, равное 6, функция достигает при $x=0$. При увеличении $x$ значение $\sqrt{x}$ неограниченно возрастает, а значение $6 - \sqrt{x}$ неограниченно убывает (стремится к $-\infty$). Следовательно, область значений функции — это все числа, меньшие или равные 6.
Ответ: $E(f) = (-\infty, 6]$.

3) Для функции $f(x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$.
Найдем область определения функции. Выражение $\sqrt{x}$ определено при $x \ge 0$. Так как в функции два таких множителя, область определения остается $x \ge 0$, или $D(f) = [0, +\infty)$. На этой области определения мы можем упростить функцию: $f(x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 = x$. Таким образом, нам нужно найти область значений функции $f(x) = x$ при условии, что её аргумент $x$ принадлежит промежутку $[0, +\infty)$. Поскольку значения функции $f(x)$ равны её аргументу $x$, а $x$ может быть любым неотрицательным числом, то и значения функции могут быть любыми неотрицательными числами.
Ответ: $E(f) = [0, +\infty)$.