Номер 243, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

243. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{x+4} + \frac{2}{x+1};$

2) $f(x) = \sqrt{8-x} + \frac{4}{x^2 - 8x}.$

1) $f(x) = \sqrt{x+4} + \frac{2}{x+1}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция определена, если выполняются два условия одновременно:

1. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным, так как извлекать квадратный корень можно только из неотрицательных чисел.
$x+4 \ge 0$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
$x+1 \ne 0$

Для нахождения области определения решим систему этих условий:

$\begin{cases} x+4 \ge 0 \\ x+1 \ne 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем:
$x \ge -4$

Из второго условия получаем:
$x \ne -1$

Объединяя эти два условия, мы получаем все числа, которые больше или равны -4, за исключением числа -1. На числовой прямой это выглядит как луч, начинающийся в точке -4 (включая ее), с "выколотой" точкой -1.

В виде интервала это записывается следующим образом: $[-4, -1) \cup (-1, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = [-4, -1) \cup (-1, +\infty)$.

2) $f(x) = \sqrt{8-x} + \frac{4}{x^2 - 8x}$

Область определения этой функции также находится из двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$8-x \ge 0$

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю.
$x^2 - 8x \ne 0$

Составим и решим систему:

$\begin{cases} 8-x \ge 0 \\ x^2 - 8x \ne 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$8-x \ge 0$
$-x \ge -8$
$x \le 8$

Решим второе условие (найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю, и исключим их):
$x^2 - 8x = 0$
$x(x-8) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.
Следовательно, $x \ne 0$ и $x \ne 8$.

Теперь необходимо объединить все полученные условия: $x \le 8$, $x \ne 0$ и $x \ne 8$.
Совмещение условий $x \le 8$ и $x \ne 8$ дает нам строгое неравенство $x < 8$. Добавляя к этому условие $x \ne 0$, получаем, что $x$ может быть любым числом, меньшим 8, кроме 0.

Запишем это в виде объединения интервалов: $(-\infty, 0) \cup (0, 8)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, 8)$.