Номер 238, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

238. Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:

1) $h(x) = 9 - 10x$;

2) $p(x) = 4x^2 + x - 3$;

3) $s(x) = \frac{x^2 - 2}{x^2 + 2}$.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, нужно выполнить следующие действия:

• Для нахождения точки пересечения с осью ординат (осью Oy), нужно подставить $x = 0$ в уравнение функции и найти соответствующее значение $y$. Координаты этой точки будут $(0; y)$.
• Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (осью Ox), нужно подставить $y = 0$ в уравнение функции (то есть приравнять функцию к нулю) и решить полученное уравнение относительно $x$. Координаты этих точек будут $(x; 0)$.

1) $h(x) = 9 - 10x$

Пересечение с осью Oy ($x=0$):

$y = h(0) = 9 - 10 \cdot 0 = 9$

Точка пересечения с осью Oy: $(0; 9)$.

Пересечение с осью Ox ($y=0$):

$h(x) = 0 \implies 9 - 10x = 0$

$10x = 9$

$x = \frac{9}{10} = 0,9$

Точка пересечения с осью Ox: $(0,9; 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0; 9)$; с осью Ox: $(0,9; 0)$.

2) $p(x) = 4x^2 + x - 3$

Пересечение с осью Oy ($x=0$):

$y = p(0) = 4 \cdot 0^2 + 0 - 3 = -3$

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -3)$.

Пересечение с осью Ox ($y=0$):

$p(x) = 0 \implies 4x^2 + x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$

$\sqrt{D} = 7$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$

Точки пересечения с осью Ox: $(-1; 0)$ и $(0,75; 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0; -3)$; с осью Ox: $(-1; 0)$ и $(0,75; 0)$.

3) $s(x) = \frac{x^2 - 2}{x^2 + 2}$

Пересечение с осью Oy ($x=0$):

$y = s(0) = \frac{0^2 - 2}{0^2 + 2} = \frac{-2}{2} = -1$

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -1)$.

Пересечение с осью Ox ($y=0$):

$s(x) = 0 \implies \frac{x^2 - 2}{x^2 + 2} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель $x^2 + 2$ всегда положителен (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 2 \ge 2$), поэтому он никогда не равен нулю. Приравниваем числитель к нулю:

$x^2 - 2 = 0$

$x^2 = 2$

$x = \pm\sqrt{2}$

Точки пересечения с осью Ox: $(-\sqrt{2}; 0)$ и $(\sqrt{2}; 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0; -1)$; с осью Ox: $(-\sqrt{2}; 0)$ и $(\sqrt{2}; 0)$.