Номер 233, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

233. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = 7x - 15;$

2) $f(x) = \frac{8}{x+5};$

3) $f(x) = \frac{x-10}{6};$

4) $f(x) = \sqrt{x-9};$

5) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}};$

6) $f(x) = \frac{10}{x^2-4};$

7) $f(x) = \frac{6x+11}{x^2-2x};$

8) $f(x) = \sqrt{x+6} + \sqrt{4-x}.$

1) Функция $f(x) = 7x - 15$ является линейной. Область определения линейной функции — это множество всех действительных чисел, так как для любого значения $x$ можно вычислить значение функции. Ограничений на значения $x$ нет.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) Функция $f(x) = \frac{8}{x+5}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль, так как деление на ноль не определено.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$x + 5 = 0$
$x = -5$
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $-5$.
Ответ: $D(f) = (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

3) Функция $f(x) = \frac{x-10}{6}$ является линейной, так как ее можно записать в виде $f(x) = \frac{1}{6}x - \frac{10}{6}$. Знаменатель является константой (6) и не равен нулю. Ограничений на значения переменной $x$ нет.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

4) Функция $f(x) = \sqrt{x-9}$ содержит квадратный корень. Выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).
Запишем и решим соответствующее неравенство:
$x - 9 \ge 0$
$x \ge 9$
Следовательно, область определения — это все числа, большие или равные 9.
Ответ: $D(f) = [9; +\infty)$.

5) В функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$ переменная $x$ находится и под знаком корня, и в знаменателе дроби. Это накладывает два ограничения:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $1-x \ge 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{1-x} \neq 0$.
Эти два условия можно объединить в одно строгое неравенство: подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
$1 - x > 0$
$1 > x$, или $x < 1$
Следовательно, область определения — это все числа, строго меньшие 1.
Ответ: $D(f) = (-\infty; 1)$.

6) Функция $f(x) = \frac{10}{x^2-4}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
Найдем значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль:
$x^2 - 4 = 0$
Разложим на множители, используя формулу разности квадратов:
$(x-2)(x+2) = 0$
Знаменатель равен нулю при $x = 2$ и $x = -2$. Эти значения необходимо исключить из области определения.
Ответ: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

7) Функция $f(x) = \frac{6x+11}{x^2-2x}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
Найдем значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль:
$x^2 - 2x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x-2) = 0$
Знаменатель равен нулю при $x = 0$ и $x = 2$. Эти значения необходимо исключить из области определения.
Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

8) Функция $f(x) = \sqrt{x+6} + \sqrt{4-x}$ является суммой двух функций, содержащих квадратный корень. Чтобы функция была определена, оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} x + 6 \ge 0 \\ 4 - x \ge 0 \end{cases}$
Решим каждое неравенство по отдельности:
1) $x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$
2) $4 - x \ge 0 \implies 4 \ge x \implies x \le 4$
Область определения является пересечением решений этих неравенств, то есть все значения $x$, которые одновременно больше или равны -6 и меньше или равны 4.
$-6 \le x \le 4$
Ответ: $D(f) = [-6; 4]$.