Страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

255. На рисунке 22 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента значения функции отрицательные;

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

Рис. 22

Рис. 23

1) нули функции

Нулями функции называются значения аргумента $x$, при которых значение функции $y = f(x)$ равно нулю. Графически это точки пересечения графика функции с осью абсцисс ($Ox$).
Из рисунка 22 видно, что график функции $y = f(x)$ пересекает ось $Ox$ в точках с абсциссами $x = -1$, $x = 0$ и $x = 2$.

Ответ: $-1; 0; 2$.

2) при каких значениях аргумента значения функции отрицательные

Значения функции отрицательны ($f(x) < 0$) на тех промежутках, где график функции расположен ниже оси абсцисс ($Ox$).
Согласно графику, это происходит на интервалах, где $x$ меньше $-1$ и где $x$ находится между $0$ и $2$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 2)$.

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции

Промежутки возрастания — это интервалы, на которых с увеличением аргумента $x$ значение функции $y$ также увеличивается (график идет вверх).
Промежутки убывания — это интервалы, на которых с увеличением аргумента $x$ значение функции $y$ уменьшается (график идет вниз).
Точки, в которых возрастание сменяется убыванием (и наоборот), называются точками экстремума.
По графику определяем абсциссы точек экстремума:
- Точка локального максимума (вершина "холма") имеет абсциссу примерно $x \approx -0.5$.
- Точка локального минимума (дно "впадины") имеет абсциссу примерно $x \approx 1.3$.
Следовательно, функция возрастает на двух промежутках: от минус бесконечности до точки максимума и от точки минимума до плюс бесконечности. Функция убывает на промежутке между точкой максимума и точкой минимума. Включая концы промежутков (точки экстремума), получаем:

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -0.5]$ и $[1.3, +\infty)$; функция убывает на промежутке $[-0.5, 1.3]$.

Рис. 22

Рис. 23

Рис. 24

256. На рисунке 23 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-1; 4]$. Используя график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях $x$ значения функции отрицательные;

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;

4) наибольшее и наименьшее значения функции.

1) нули функции;

Нулями функции называются значения аргумента $x$, при которых значение функции $y=f(x)$ равно нулю. На графике это абсциссы точек, в которых график функции пересекает ось $Ox$. Проанализировав график на рисунке 23, мы видим, что он пересекает ось абсцисс в двух точках. Координаты этих точек по оси $x$ равны $-1$ и $2$.

Ответ: нули функции: $x = -1, x = 2$.

2) при каких значениях x значения функции отрицательные;

Значения функции считаются отрицательными ($f(x) < 0$) на тех промежутках, где ее график лежит ниже оси абсцисс $Ox$. Из графика видно, что это условие выполняется для всех значений $x$, которые находятся между нулями функции $x = -1$ и $x = 2$. В самих точках $x=-1$ и $x=2$ значение функции равно нулю, поэтому концы интервала не включаются.

Ответ: функция отрицательна при $x \in (-1; 2)$.

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;

Функция возрастает на тех промежутках, где с увеличением аргумента $x$ увеличивается и значение функции $y$. Графически это соответствует участкам, на которых график "идет вверх" при движении слева направо. Функция убывает, если с увеличением $x$ значение $y$ уменьшается (график "идет вниз").

Анализируя график на отрезке $[-1; 4]$:

- Функция убывает на отрезке от $x=-1$ до $x=1$. В точке $x=1$ находится локальный минимум.
- Затем функция возрастает на отрезке от $x=1$ до $x=3$. В точке $x=3$ находится локальный максимум.
- После этого функция снова убывает на отрезке от $x=3$ до $x=4$.

Ответ: промежуток возрастания: $[1; 3]$; промежутки убывания: $[-1; 1]$ и $[3; 4]$.

4) наибольшее и наименьшее значения функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке $[-1; 4]$ — это, соответственно, самая высокая и самая низкая точки на графике в пределах этого отрезка. Чтобы их найти, нужно сравнить значения функции в точках локальных экстремумов (минимумов и максимумов) и на концах заданного отрезка.

Найдем значения функции в этих ключевых точках по графику:

- Значение на левом конце отрезка: $f(-1) = 0$.
- Значение в точке локального минимума: $f(1) = -2$.
- Значение в точке локального максимума: $f(3) = 2$.
- Значение на правом конце отрезка: $f(4) = 1$.

Сравнивая полученные значения $\{0, -2, 2, 1\}$, мы видим, что самое большое из них — это $2$, а самое маленькое — $-2$.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{\text{наиб}} = 2$; наименьшее значение функции $y_{\text{наим}} = -2$.

Рис. 24

257. На рисунке 24 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Какие из данных утверждений верны:

1) функция убывает на промежутке $(-\infty; -9]$;

2) $f(x) < 0$ при $-5 \leq x \leq 1$;

3) функция возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$;

4) $f(x) = 0$ при $x = -5$ и при $x = 1$;

5) функция на области определения принимает наименьшее значение при $x = -2$?

1) функция убывает на промежутке $(-\infty; -9]$

Для определения промежутков монотонности функции необходимо найти вершину параболы. Из графика видно, что вершина находится в точке с координатами $(-2, -9)$. Функция, представленная параболой с ветвями вверх, убывает на промежутке слева от вершины. Промежутки монотонности определяются по оси абсцисс ($x$), поэтому функция убывает на промежутке $(-\infty, -2]$. Значение $-9$ является ординатой вершины (минимальным значением функции), а не граничным значением аргумента. Следовательно, указанный в утверждении промежуток $(-\infty; -9]$ неверен.

Ответ: утверждение неверно.

2) $f(x) < 0$ при $-5 \le x \le 1$

Неравенство $f(x) < 0$ означает, что график функции находится строго ниже оси абсцисс ($x$). Из графика видно, что нулями функции (точками пересечения с осью $x$) являются $x = -5$ и $x = 1$. Между этими точками, то есть на интервале $(-5, 1)$, график действительно находится ниже оси $x$ и значения функции отрицательны. Однако в утверждении указан отрезок $[-5, 1]$, который включает концы $x = -5$ и $x = 1$. В этих точках значение функции равно нулю ($f(-5)=0$ и $f(1)=0$), что не удовлетворяет строгому неравенству $f(x) < 0$. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: утверждение неверно.

3) функция возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$

Функция, график которой — парабола с ветвями вверх, возрастает на промежутке справа от своей вершины. Абсцисса вершины, как видно из графика, равна $x = -2$. Таким образом, функция возрастает при всех значениях $x \ge -2$, что соответствует промежутку $[-2; +\infty)$. Утверждение в точности совпадает с этим выводом. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

4) $f(x) = 0$ при $x = -5$ и при $x = 1$

Равенство $f(x) = 0$ выполняется в точках, где график функции пересекает ось абсцисс ($x$). Эти точки называются нулями функции. По графику видно, что он пересекает ось $x$ в точках с абсциссами $-5$ и $1$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

5) функция на области определения принимает наименьшее значение при $x = -2$

По условию, функция определена на множестве всех действительных чисел. Её график — парабола с ветвями, направленными вверх. Такая функция имеет наименьшее значение в своей вершине. По графику определяем, что координаты вершины равны $(-2, -9)$. Наименьшее значение функции $y_{min} = -9$ достигается при абсциссе $x = -2$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.