Номер 257, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Рис. 24

257. На рисунке 24 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Какие из данных утверждений верны:

1) функция убывает на промежутке $(-\infty; -9]$;

2) $f(x) < 0$ при $-5 \leq x \leq 1$;

3) функция возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$;

4) $f(x) = 0$ при $x = -5$ и при $x = 1$;

5) функция на области определения принимает наименьшее значение при $x = -2$?

1) функция убывает на промежутке $(-\infty; -9]$

Для определения промежутков монотонности функции необходимо найти вершину параболы. Из графика видно, что вершина находится в точке с координатами $(-2, -9)$. Функция, представленная параболой с ветвями вверх, убывает на промежутке слева от вершины. Промежутки монотонности определяются по оси абсцисс ($x$), поэтому функция убывает на промежутке $(-\infty, -2]$. Значение $-9$ является ординатой вершины (минимальным значением функции), а не граничным значением аргумента. Следовательно, указанный в утверждении промежуток $(-\infty; -9]$ неверен.

Ответ: утверждение неверно.

2) $f(x) < 0$ при $-5 \le x \le 1$

Неравенство $f(x) < 0$ означает, что график функции находится строго ниже оси абсцисс ($x$). Из графика видно, что нулями функции (точками пересечения с осью $x$) являются $x = -5$ и $x = 1$. Между этими точками, то есть на интервале $(-5, 1)$, график действительно находится ниже оси $x$ и значения функции отрицательны. Однако в утверждении указан отрезок $[-5, 1]$, который включает концы $x = -5$ и $x = 1$. В этих точках значение функции равно нулю ($f(-5)=0$ и $f(1)=0$), что не удовлетворяет строгому неравенству $f(x) < 0$. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: утверждение неверно.

3) функция возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$

Функция, график которой — парабола с ветвями вверх, возрастает на промежутке справа от своей вершины. Абсцисса вершины, как видно из графика, равна $x = -2$. Таким образом, функция возрастает при всех значениях $x \ge -2$, что соответствует промежутку $[-2; +\infty)$. Утверждение в точности совпадает с этим выводом. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

4) $f(x) = 0$ при $x = -5$ и при $x = 1$

Равенство $f(x) = 0$ выполняется в точках, где график функции пересекает ось абсцисс ($x$). Эти точки называются нулями функции. По графику видно, что он пересекает ось $x$ в точках с абсциссами $-5$ и $1$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

5) функция на области определения принимает наименьшее значение при $x = -2$

По условию, функция определена на множестве всех действительных чисел. Её график — парабола с ветвями, направленными вверх. Такая функция имеет наименьшее значение в своей вершине. По графику определяем, что координаты вершины равны $(-2, -9)$. Наименьшее значение функции $y_{min} = -9$ достигается при абсциссе $x = -2$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.