Номер 262, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

262. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = 5x - 15;$

2) $y = -7x - 28;$

3) $y = x^2 - 2x + 1;$

4) $y = \frac{9}{3-x}.$

1) Для функции $y = 5x - 15$ сначала найдём её нули, то есть значения $x$, при которых $y=0$.
$5x - 15 = 0$
$5x = 15$
$x = 3$
Это линейная функция, её график — прямая линия. Нуль функции $x = 3$ делит числовую ось на два интервала: $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из этих интервалов, подставив любое значение из него.
- Для интервала $(-\infty; 3)$ возьмём $x=0$. Получаем $y(0) = 5 \cdot 0 - 15 = -15$. Так как $-15 < 0$, то на всём интервале $y < 0$.
- Для интервала $(3; +\infty)$ возьмём $x=4$. Получаем $y(4) = 5 \cdot 4 - 15 = 20 - 15 = 5$. Так как $5 > 0$, то на всём интервале $y > 0$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (3; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 3)$.

2) Для функции $y = -7x - 28$ найдём её нули.
$-7x - 28 = 0$
$-7x = 28$
$x = -4$
Нуль функции $x = -4$ делит числовую ось на два интервала: $(-\infty; -4)$ и $(-4; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из них.
- Для интервала $(-\infty; -4)$ возьмём $x=-5$. Получаем $y(-5) = -7(-5) - 28 = 35 - 28 = 7$. Так как $7 > 0$, то на всём интервале $y > 0$.
- Для интервала $(-4; +\infty)$ возьмём $x=0$. Получаем $y(0) = -7(0) - 28 = -28$. Так как $-28 < 0$, то на всём интервале $y < 0$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -4)$; $y < 0$ при $x \in (-4; +\infty)$.

3) Для функции $y = x^2 - 2x + 1$ заметим, что её правую часть можно свернуть по формуле квадрата разности.
$y = (x - 1)^2$
Найдём нули функции.
$(x - 1)^2 = 0$
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Выражение $(x - 1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно ($y \ge 0$).
- Функция равна нулю только в одной точке: $x=1$.
- Для всех остальных значений $x$ (то есть при $x \neq 1$) значение функции будет строго положительным, так как квадрат любого ненулевого числа положителен.
Таким образом, функция положительна на объединении двух интервалов: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Отрицательных значений функция не принимает.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$; промежутков, где $y < 0$, не существует.

4) Для функции $y = \frac{9}{3-x}$ сначала найдём её область определения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$3 - x \neq 0 \implies x \neq 3$
Область определения: $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
Теперь найдём нули функции. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю. В данном случае числитель равен 9, что не равно нулю, поэтому у функции нет нулей.
Знак функции может измениться только в точке разрыва $x=3$. Эта точка делит область определения на два интервала: $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$.
Определим знак функции на каждом интервале. Числитель дроби (9) всегда положителен, поэтому знак всей дроби зависит только от знака знаменателя $(3-x)$.
- Для интервала $(-\infty; 3)$ возьмём $x=0$. Знаменатель $3 - 0 = 3 > 0$. Так как числитель и знаменатель положительны, то $y > 0$.
- Для интервала $(3; +\infty)$ возьмём $x=4$. Знаменатель $3 - 4 = -1 < 0$. Так как числитель положителен, а знаменатель отрицателен, то $y < 0$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 3)$; $y < 0$ при $x \in (3; +\infty)$.