Номер 267, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

267. Начертите график какой-либо функции, определённой на множестве действительных чисел, которая возрастает на промежутках $ (-\infty; 1] $ и $ [4; +\infty) $ и убывает на промежутке $ [1; 4] $.

Для построения графика функции, удовлетворяющей заданным условиям, необходимо проанализировать её свойства, вытекающие из условия задачи.

Анализ свойств функции

• Область определения: Функция определена на множестве действительных чисел, что означает её область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$. График такой функции представляет собой непрерывную кривую, которая простирается на всю числовую ось X.
• Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[4; +\infty)$. Это значит, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этих промежутков, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$. График на этих участках "идёт вверх" при движении слева направо.
  • Функция убывает на промежутке $[1; 4]$. Это значит, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$. График на этом участке "идёт вниз".
• Точки экстремума: Точки, в которых возрастание сменяется убыванием (и наоборот), являются точками экстремума.
  • В точке $x=1$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка локального максимума.
  • В точке $x=4$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка локального минимума.

Построение графика

Основываясь на анализе, мы можем начертить эскиз графика. Это будет гладкая кривая, которая:

1. Поднимается из $-\infty$ до точки локального максимума с абсциссой $x=1$.
2. Опускается от точки максимума до точки локального минимума с абсциссой $x=4$.
3. Снова поднимается от точки минимума в $+\infty$.

Значения функции в точках экстремума (то есть ординаты этих точек) могут быть выбраны произвольно, но с учётом того, что значение в точке максимума должно быть больше значения в точке минимума. Например, можно взять точку максимума $(1, 2)$ и точку минимума $(4, -1)$.

Ответ:

Ниже представлен эскиз графика функции, удовлетворяющей всем перечисленным условиям. Красными точками отмечены локальный максимум и локальный минимум.