Номер 268, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

268. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} 2x + 8, & \text{если } x \le -2, \\ x^2, & \text{если } -2 < x < 2, \\ -2x + 8, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$

Используя построенный график, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения её графика необходимо построить график каждой из трёх функций на соответствующем промежутке.

1. Построение графика функции $y = 2x + 8$ на промежутке $x \le -2$.

Графиком является луч. Для его построения найдем координаты двух точек:

• При $x = -2$, $y = 2(-2) + 8 = 4$. Получаем точку $(-2, 4)$.
• При $x = -4$, $y = 2(-4) + 8 = 0$. Получаем точку $(-4, 0)$.

Проводим луч через точку $(-4, 0)$ до точки $(-2, 4)$, включая эту точку.

2. Построение графика функции $y = x^2$ на промежутке $-2 < x < 2$.

Графиком является часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Найдем значения на границах интервала (эти точки будут "выколотыми", так как неравенство строгое):

• При $x \to -2$, $y \to (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$.
• При $x \to 2$, $y \to (2)^2 = 4$. Точка $(2, 4)$.

Строим участок параболы, проходящий через $(0,0)$, между точками $(-2, 4)$ и $(2, 4)$.

3. Построение графика функции $y = -2x + 8$ на промежутке $x \ge 2$.

Графиком является луч. Для его построения найдем координаты двух точек:

• При $x = 2$, $y = -2(2) + 8 = 4$. Получаем точку $(2, 4)$.
• При $x = 4$, $y = -2(4) + 8 = 0$. Получаем точку $(4, 0)$.

Проводим луч, выходящий из точки $(2, 4)$ и проходящий через точку $(4, 0)$.

Так как в точках "стыковки" $x=-2$ и $x=2$ значения всех частей функции совпадают и равны 4, график является непрерывной линией. Он состоит из луча, возрастающего до точки $(-2, 4)$, затем участка параболы, убывающего до $(0, 0)$ и возрастающего до $(2, 4)$, и, наконец, луча, убывающего от точки $(2, 4)$.

Используя построенный график, проанализируем свойства функции.

Нули функции

Нули функции – это точки, в которых график пересекает ось абсцисс, то есть где $f(x)=0$. Найдем их для каждой части функции:

• $2x + 8 = 0 \implies x = -4$. Это значение входит в промежуток $x \le -2$.
• $x^2 = 0 \implies x = 0$. Это значение входит в промежуток $-2 < x < 2$.
• $-2x + 8 = 0 \implies x = 4$. Это значение входит в промежуток $x \ge 2$.

Ответ: нули функции: $x_1 = -4$, $x_2 = 0$, $x_3 = 4$.

Промежутки знакопостоянства

Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (положительный или отрицательный).

• Функция положительна ($f(x) > 0$), когда её график находится выше оси Ox. Это происходит на интервалах от -4 до 0 и от 0 до 4.
• Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда её график находится ниже оси Ox. Это происходит на интервалах левее -4 и правее 4.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-4, 0) \cup (0, 4)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.

Промежутки возрастания и промежутки убывания

Определяем по графику, где функция возрастает (график идёт вверх) и где убывает (график идёт вниз).

• Промежутки возрастания:
  1. На промежутке $(-\infty, -2]$ график $y=2x+8$ возрастает.
  2. На промежутке $[0, 2)$ график $y=x^2$ возрастает.
• Промежутки убывания:
  1. На промежутке $(-2, 0]$ график $y=x^2$ убывает.
  2. На промежутке $[2, +\infty)$ график $y=-2x+8$ убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, 2]$; функция убывает на промежутках $[-2, 0]$ и $[2, +\infty)$.