Номер 265, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

265. Начертите график какой-либо функции, определённой на промежутке $ [-5; 5] $, нулями которой являются числа -3, 0 и 3.

Для решения задачи нужно найти и начертить график любой функции $y=f(x)$, которая удовлетворяет двум условиям:

1. Область определения функции — промежуток $[-5; 5]$.
2. Нулями функции (то есть значениями $x$, при которых $f(x)=0$) являются числа $-3$, $0$ и $3$.

Самый простой способ сконструировать такую функцию — это использовать многочлен. Если у многочлена есть корни $x_1, x_2, x_3$, то его можно записать в виде $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$, где $a$ — любой ненулевой коэффициент.

Выберем наши корни $x_1 = -3$, $x_2 = 0$ и $x_3 = 3$. Для простоты положим коэффициент $a=1$. Тогда наша функция примет вид:

$y = (x - (-3))(x - 0)(x - 3)$

Упростим это выражение:

$y = (x+3)x(x-3) = x(x^2 - 9) = x^3 - 9x$

Функция $y = x^3 - 9x$ является кубической параболой. Она определена для всех действительных чисел, следовательно, она определена и на заданном промежутке $[-5; 5]$. Её нули — это $x=-3, x=0, x=3$, что соответствует условию задачи.

Для построения графика найдём координаты нескольких ключевых точек в пределах промежутка $[-5; 5]$:

• Точки пересечения с осью абсцисс (нули функции):
  Как мы и задавали, $y=0$ при $x=-3$, $x=0$ и $x=3$. Это точки $(-3, 0)$, $(0, 0)$ и $(3, 0)$.
• Значения функции на концах промежутка:
  При $x=-5$: $y = (-5)^3 - 9(-5) = -125 + 45 = -80$. Точка $(-5, -80)$.
  При $x=5$: $y = 5^3 - 9(5) = 125 - 45 = 80$. Точка $(5, 80)$.
• Точки локальных экстремумов (вершины):
  Чтобы их найти, вычислим производную функции и приравняем её к нулю.
  $y' = (x^3 - 9x)' = 3x^2 - 9$
  Найдём, где $y'=0$:
  $3x^2 - 9 = 0 \implies 3x^2 = 9 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1.73$.
  Оба значения входят в наш промежуток $[-5; 5]$.
  Найдём значения $y$ в этих точках:
  При $x = -\sqrt{3}$: $y = (-\sqrt{3})^3 - 9(-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3} + 9\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \approx 10.4$. Точка локального максимума: $(-\sqrt{3}, 6\sqrt{3})$.
  При $x = \sqrt{3}$: $y = (\sqrt{3})^3 - 9(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 9\sqrt{3} = -6\sqrt{3} \approx -10.4$. Точка локального минимума: $(\sqrt{3}, -6\sqrt{3})$.

Теперь можно построить эскиз графика, соединив эти точки плавной кривой. График будет симметричен относительно начала координат, так как функция является нечётной.

Ответ:

Примером функции, удовлетворяющей заданным условиям, является $y = x^3 - 9x$ на промежутке $[-5; 5]$. Её график — это кубическая парабола, проходящая через начало координат, пересекающая ось $Ox$ в точках $-3$ и $3$, и ограниченная значениями $x$ от $-5$ до $5$. Ниже представлен график этой функции.