Номер 264, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

264. Начертите график какой-либо функции, определённой на множестве действительных чисел, нулями которой являются числа:

1) -2 и 5;

2) -4, -1, 0 и 4.

1)

Требуется начертить график функции, которая определена на множестве действительных чисел и имеет нули в точках $x = -2$ и $x = 5$. Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Графически это точки, в которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Oх).

Существует бесконечное множество функций, удовлетворяющих этому условию. Самый простой способ построить такую функцию — это использовать многочлен, корнями которого являются заданные числа.

Пусть наша функция $y = f(x)$. Если у функции есть нули $x_1$ и $x_2$, то ее можно представить в виде $y = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $a$ — любое ненулевое число.

Возьмем наши нули $x_1 = -2$ и $x_2 = 5$. Для простоты выберем коэффициент $a=1$.

Тогда формула функции будет: $y = (x - (-2))(x - 5) = (x + 2)(x - 5)$

Раскроем скобки, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения: $y = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$

Это уравнение параболы. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$), ветви параболы направлены вверх. График этой функции пересекает ось Ох в точках $(-2, 0)$ и $(5, 0)$.

Для более точного построения графика можно найти вершину параболы. Координата вершины по оси $x$ находится по формуле $x_v = -b / (2a)$. В нашем случае $a=1, b=-3$, поэтому: $x_v = -(-3) / (2 \cdot 1) = 3/2 = 1.5$

Подставим $x_v$ в уравнение функции, чтобы найти координату по оси $y$: $y_v = (1.5)^2 - 3(1.5) - 10 = 2.25 - 4.5 - 10 = -12.25$

Вершина параболы находится в точке $(1.5, -12.25)$.

Теперь можно начертить график: это парабола, проходящая через точки $(-2, 0)$ и $(5, 0)$, с вершиной в точке $(1.5, -12.25)$ и ветвями, направленными вверх.

Ответ: Графиком может служить парабола, ветви которой направлены вверх, и которая пересекает ось абсцисс в точках $x = -2$ и $x = 5$. Примером такой функции является $y = x^2 - 3x - 10$.

2)

В этом случае нулями функции являются числа $-4, -1, 0$ и $4$. Это означает, что график функции должен пересекать ось Ох в точках $x=-4, x=-1, x=0$ и $x=4$.

Аналогично первому пункту, построим многочлен, который имеет эти числа в качестве корней. $y = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)$

Подставим наши нули $x_1 = -4, x_2 = -1, x_3 = 0, x_4 = 4$ и выберем $a=1$ для простоты: $y = (x - (-4))(x - (-1))(x - 0)(x - 4)$ $y = (x + 4)(x + 1)x(x - 4)$

Это многочлен четвертой степени. График этой функции будет пересекать ось Ох в четырех заданных точках. Чтобы представить, как выглядит график, можно определить знаки функции на интервалах, образованных нулями: $(-\infty, -4), (-4, -1), (-1, 0), (0, 4), (4, +\infty)$.

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $y = 5(5+1)(5+4)(5-4) > 0$. График выше оси Ох.
• При $0 < x < 4$ (например, $x=1$): $y = 1(1+1)(1+4)(1-4) < 0$. График ниже оси Ох.
• При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $y = -0.5(-0.5+1)(-0.5+4)(-0.5-4) > 0$. График выше оси Ох.
• При $-4 < x < -1$ (например, $x=-2$): $y = -2(-2+1)(-2+4)(-2-4) < 0$. График ниже оси Ох.
• При $x < -4$ (например, $x=-5$): $y = -5(-5+1)(-5+4)(-5-4) > 0$. График выше оси Ох.

Таким образом, график представляет собой волнистую линию. Он приходит из $+\infty$ слева, пересекает ось в точке $x=-4$, уходит вниз, затем поворачивает вверх и пересекает ось в точке $x=-1$, снова поворачивает вниз, чтобы пересечь ось в точке $x=0$, и, наконец, после еще одного поворота внизу, пересекает ось в точке $x=4$ и уходит в $+\infty$ справа.

Ответ: Графиком может служить кривая, пересекающая ось абсцисс в точках $x = -4, x = -1, x = 0$ и $x = 4$. Примером такой функции является $y = x(x+1)(x+4)(x-4)$. График имеет W-образную форму с тремя локальными экстремумами между нулями.