Номер 266, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

266. Начертите график какой-либо функции, определённой на промежутке \$[-4; 3]\$, такой, что:

1) функция возрастает на промежутке \$[-4; -1]\$ и убывает на промежутке \$[-1; 3]\$;

2) функция убывает на промежутках \$[-4; -2]\$ и \$[0; 3]\$ и возрастает на промежутке \$[-2; 0]\$.

1)

Согласно условию, требуется начертить график функции, определённой на отрезке $[-4; 3]$, которая возрастает на промежутке $[-4; -1]$ и убывает на промежутке $[-1; 3]$.

Возрастание функции на промежутке $[-4; -1]$ означает, что при увеличении $x$ от $-4$ до $-1$ значение $y$ также увеличивается (график идёт вверх). Убывание на промежутке $[-1; 3]$ означает, что при увеличении $x$ от $-1$ до $3$ значение $y$ уменьшается (график идёт вниз). Таким образом, в точке $x = -1$ функция достигает своего локального максимума.

Для построения графика можно выбрать несколько ключевых точек и соединить их, например, отрезками прямых. Пусть начальная точка графика при $x=-4$ будет $(-4, 1)$. Поскольку функция возрастает до $x=-1$, значение в этой точке должно быть больше, выберем точку максимума $(-1, 4)$. Соединим точки $(-4, 1)$ и $(-1, 4)$ отрезком. Далее функция убывает до $x=3$. Значение в этой точке должно быть меньше, чем в точке максимума. Выберем, например, точку $(3, 0)$. Соединим точки $(-1, 4)$ и $(3, 0)$ вторым отрезком. Полученная ломаная линия с вершиной в точке $(-1, 4)$ полностью удовлетворяет заданным условиям.

В качестве примера гладкой функции можно рассмотреть параболу с ветвями вниз и вершиной в точке $x=-1$, например, $f(x) = -(x+1)^2 + 4$.

Ответ: График представляет собой кривую или ломаную линию, которая поднимается на промежутке $[-4; -1]$ (например, от точки $(-4,1)$ до $(-1,4)$) и опускается на промежутке $[-1; 3]$ (например, от точки $(-1,4)$ до $(3,0)$). Точка с абсциссой $x=-1$ является точкой максимума.

2)

Согласно условию, требуется начертить график функции, определённой на отрезке $[-4; 3]$, которая убывает на промежутках $[-4; -2]$ и $[0; 3]$ и возрастает на промежутке $[-2; 0]$.

Это означает, что график функции имеет следующий вид:
- На промежутке $[-4; -2]$ он идёт вниз.
- В точке $x=-2$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка локального минимума.
- На промежутке $[-2; 0]$ график идёт вверх.
- В точке $x=0$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка локального максимума.
- На промежутке $[0; 3]$ график снова идёт вниз.

Построим пример такого графика, соединив ключевые точки отрезками. Выберем начальное значение в точке $x=-4$, например, $(-4, 3)$. Так как функция убывает, в точке $x=-2$ значение должно быть меньше, например, $(-2, 0)$. Это будет точка локального минимума. Затем функция возрастает до $x=0$, где будет локальный максимум, например, в точке $(0, 2)$. Наконец, на последнем участке функция снова убывает, и в точке $x=3$ значение будет меньше, чем в максимуме, например, $(3, -1)$. Соединив последовательно точки $(-4, 3)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$ и $(3, -1)$ отрезками, мы получим ломаную линию, удовлетворяющую всем условиям.

Примером гладкой функции с такими свойствами может служить кубическая функция, например, $f(x) = -x^3/3 - x^2 + 2$.

Ответ: График представляет собой кривую или ломаную линию, которая опускается на промежутке $[-4; -2]$ (например, от $(-4,3)$ до $(-2,0)$), затем поднимается на промежутке $[-2; 0]$ (например, до $(0,2)$), и снова опускается на промежутке $[0; 3]$ (например, до $(3,-1)$). Таким образом, в точке $x=-2$ находится локальный минимум, а в точке $x=0$ — локальный максимум.