Номер 263, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

263. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = -4x + 8;$

2) $y = -x^2 - 1;$

3) $y = \sqrt{x} + 2.$

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, необходимо определить, на каких интервалах области определения функция принимает положительные значения ($y > 0$), а на каких — отрицательные ($y < 0$). Для этого мы найдем нули функции (точки, в которых ее график пересекает ось абсцисс) и определим знак функции в каждом из полученных интервалов.

1) $y = -4x + 8$

Это линейная функция, область определения которой — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$:

$-4x + 8 = 0$

$-4x = -8$

$x = \frac{-8}{-4}$

$x = 2$

Нуль функции $x = 2$ делит числовую прямую на два промежутка: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из них.

• Возьмем точку из промежутка $(-\infty; 2)$, например, $x = 0$. Подставим ее в функцию:

  $y(0) = -4(0) + 8 = 8$.

  Так как $8 > 0$, то на промежутке $(-\infty; 2)$ функция положительна ($y > 0$).

• Возьмем точку из промежутка $(2; +\infty)$, например, $x = 3$. Подставим ее в функцию:

  $y(3) = -4(3) + 8 = -12 + 8 = -4$.

  Так как $-4 < 0$, то на промежутке $(2; +\infty)$ функция отрицательна ($y < 0$).

Ответ: функция положительна ($y > 0$) при $x \in (-\infty; 2)$; функция отрицательна ($y < 0$) при $x \in (2; +\infty)$.

2) $y = -x^2 - 1$

Это квадратичная функция, область определения которой — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$:

$-x^2 - 1 = 0$

$-x^2 = 1$

$x^2 = -1$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Это означает, что график функции не пересекает ось $Ox$, и функция сохраняет свой знак на всей области определения.

Чтобы определить этот знак, выберем любое значение $x$, например, $x = 0$:

$y(0) = -(0)^2 - 1 = -1$.

Так как $y(0) < 0$, функция отрицательна при всех значениях $x$.

Ответ: функция отрицательна ($y < 0$) при $x \in (-\infty; +\infty)$; промежутков, где функция положительна, нет.

3) $y = \sqrt{x} + 2$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому область определения функции (ОДЗ): $x \ge 0$, то есть $D(y) = [0; +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$:

$\sqrt{x} + 2 = 0$

$\sqrt{x} = -2$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом. Следовательно, у функции нет нулей.

Так как функция непрерывна на своей области определения и не имеет нулей, она сохраняет свой знак на всем промежутке $[0; +\infty)$.

Определим этот знак. По определению, $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Если к неотрицательному числу прибавить 2, результат всегда будет положительным:

$\sqrt{x} + 2 \ge 0 + 2 = 2$.

Таким образом, $y \ge 2$ для всех $x \in [0; +\infty)$, а значит, функция всегда положительна на своей области определения.

Ответ: функция положительна ($y > 0$) при $x \in [0; +\infty)$; промежутков, где функция отрицательна, нет.