Номер 261, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

261. Найдите нули функции:

1) $f(x) = \frac{1}{3}x + 12$;

2) $f(x) = 6x^2 + 5x + 1$;

3) $f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$;

4) $f(x) = -5$;

5) $f(x) = \frac{3 - 0,2x}{x + 1}$;

6) $f(x) = x^2 - x$.

Чтобы найти нули функции $f(x)$, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$. Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю.

1) $f(x) = \frac{1}{3}x + 12$

Приравняем функцию к нулю:

$\frac{1}{3}x + 12 = 0$

Перенесем 12 в правую часть уравнения, изменив знак:

$\frac{1}{3}x = -12$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:

$x = -12 \cdot 3$

$x = -36$

Ответ: -36

2) $f(x) = 6x^2 + 5x + 1$

Приравняем функцию к нулю, получив квадратное уравнение:

$6x^2 + 5x + 1 = 0$

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 - 1}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 + 1}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$; $-\frac{1}{3}$

3) $f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$

Приравняем функцию к нулю:

$\sqrt{x^2 - 4} = 0$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$x^2 - 4 = 0$

Перенесем 4 в правую часть:

$x^2 = 4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Проверим, входят ли найденные значения в область определения функции. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 4 \ge 0$. Оба значения удовлетворяют этому условию ($2^2 - 4 = 0$, $(-2)^2 - 4 = 0$).

Ответ: -2; 2

4) $f(x) = -5$

Приравняем функцию к нулю:

$-5 = 0$

Это равенство неверно ни при каких значениях $x$. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нулей нет

5) $f(x) = \frac{3 - 0,2x}{x + 1}$

Приравняем функцию к нулю:

$\frac{3 - 0,2x}{x + 1} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем систему условий:

$\begin{cases} 3 - 0,2x = 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$3 = 0,2x$

$x = \frac{3}{0,2} = \frac{30}{2} = 15$

Проверим второе условие для найденного значения $x=15$:

$15 + 1 = 16 \neq 0$

Условие выполняется, значит $x=15$ является нулем функции.

Ответ: 15

6) $f(x) = x^2 - x$

Приравняем функцию к нулю:

$x^2 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $x - 1 = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$, $x_2 = 1$

Ответ: 0; 1