Номер 269, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

269. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} \frac{4}{x}, \text{ если } x < -1, \\ \frac{x}{4}, \text{ если } -1 \leq x \leq 1, \\ \frac{4}{x}, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

Используя построенный график, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

Постройте график функции

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения графика рассмотрим каждый из трех участков отдельно.

1. На промежутке $x < -1$ функция задана формулой $f(x) = \frac{4}{x}$. Это часть графика обратной пропорциональности (гиперболы), ветвь которой расположена в третьей координатной четверти. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для этой ветви при $x \to -\infty$. Найдем значение на границе промежутка: при $x=-1$, $y = \frac{4}{-1} = -4$. Поскольку неравенство строгое ($x < -1$), точка $(-1; -4)$ на графике будет выколотой (пустой кружок).

2. На отрезке $-1 \le x \le 1$ функция задана формулой $f(x) = \frac{x}{4}$. Это часть графика прямой пропорциональности, проходящая через начало координат. Графиком является отрезок прямой, соединяющий точки, соответствующие концам отрезка.
При $x = -1$, $f(-1) = \frac{-1}{4} = -0.25$. Точка $(-1; -0.25)$ принадлежит графику (закрашенный кружок).
При $x = 1$, $f(1) = \frac{1}{4} = 0.25$. Точка $(1; 0.25)$ также принадлежит графику (закрашенный кружок).

3. На промежутке $x > 1$ функция вновь задана формулой $f(x) = \frac{4}{x}$. Это другая ветвь той же гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$. На границе промежутка, при $x=1$, получаем $y = \frac{4}{1} = 4$. Так как неравенство строгое ($x > 1$), точка $(1; 4)$ на графике будет выколотой.

Совместим все три части на одной координатной плоскости, чтобы получить итоговый график функции.

Используя построенный график, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

Нули функции:
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($f(x)=0$). На графике это точки пересечения с осью абсцисс ($Ox$).
- На промежутках $x < -1$ и $x > 1$ функция $f(x) = \frac{4}{x}$ не равна нулю.
- На отрезке $-1 \le x \le 1$ функция $f(x) = \frac{x}{4}$ равна нулю при $\frac{x}{4} = 0$, то есть при $x=0$.
Таким образом, функция имеет единственный нуль.
Ответ: $x=0$.

Промежутки знакопостоянства:
Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (положительна или отрицательна).
- Функция положительна ($f(x) > 0$), где ее график лежит выше оси $Ox$. Из графика видно, что это происходит на промежутке $(0; 1]$ и на промежутке $(1; +\infty)$. Объединяя эти промежутки, получаем $(0; +\infty)$.
- Функция отрицательна ($f(x) < 0$), где ее график лежит ниже оси $Ox$. Это происходит на промежутке $(-\infty; -1)$ и на промежутке $[-1; 0)$. Объединяя эти промежутки, получаем $(-\infty; 0)$.
Ответ: функция положительна при $x \in (0; +\infty)$; функция отрицательна при $x \in (-\infty; 0)$.

Промежутки возрастания:
Функция возрастает на тех промежутках, где при увеличении $x$ значения $f(x)$ также увеличиваются (график идет "вверх").
На отрезке $[-1; 1]$ функция $f(x) = \frac{x}{4}$ является линейной с положительным угловым коэффициентом $k = 1/4$, поэтому она возрастает на всем этом отрезке.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; 1]$.

Промежутки убывания:
Функция убывает на тех промежутках, где при увеличении $x$ значения $f(x)$ уменьшаются (график идет "вниз").
- На промежутке $(-\infty; -1)$ график функции $f(x) = \frac{4}{x}$ убывает.
- На промежутке $(1; +\infty)$ график функции $f(x) = \frac{4}{x}$ также убывает.
Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$.