Номер 276, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

276. Докажите, что функция:

1) $y = \frac{6}{3-x}$ возрастает на промежутке $(3; +\infty)$;

2) $y = x^2 - 4x + 3$ убывает на промежутке $(-\infty; 2]$.

1) Чтобы доказать, что функция $y = \frac{6}{3-x}$ возрастает на промежутке $(3; +\infty)$, воспользуемся определением возрастающей функции. Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(3; +\infty)$, причем $x_2 > x_1$. Таким образом, $3 < x_1 < x_2$.

Найдем значения функции в этих точках:
$y_1 = f(x_1) = \frac{6}{3-x_1}$
$y_2 = f(x_2) = \frac{6}{3-x_2}$

Рассмотрим разность $y_2 - y_1$:
$y_2 - y_1 = \frac{6}{3-x_2} - \frac{6}{3-x_1} = 6 \left( \frac{1}{3-x_2} - \frac{1}{3-x_1} \right) = 6 \cdot \frac{(3-x_1) - (3-x_2)}{(3-x_2)(3-x_1)} = 6 \cdot \frac{3 - x_1 - 3 + x_2}{(3-x_2)(3-x_1)} = 6 \cdot \frac{x_2 - x_1}{(3-x_2)(3-x_1)}$.

Оценим знак полученного выражения:
1. Числитель: так как мы выбрали $x_2 > x_1$, то $x_2 - x_1 > 0$ (положительное число).
2. Знаменатель: так как $x_1 > 3$ и $x_2 > 3$, то $(3 - x_1)$ — отрицательное число, и $(3 - x_2)$ — отрицательное число. Произведение двух отрицательных чисел является положительным: $(3-x_2)(3-x_1) > 0$.

Таким образом, разность $y_2 - y_1$ представляет собой произведение положительного числа 6 на дробь, у которой и числитель, и знаменатель положительны. Следовательно, вся дробь положительна, и $y_2 - y_1 > 0$.
Из $y_2 - y_1 > 0$ следует, что $y_2 > y_1$.

Мы показали, что для любых $x_1, x_2 \in (3; +\infty)$ из условия $x_2 > x_1$ следует $f(x_2) > f(x_1)$, что и доказывает возрастание функции на данном промежутке.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что функция $y = x^2 - 4x + 3$ убывает на промежутке $(-\infty; 2]$, воспользуемся определением убывающей функции. Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 2]$, причем $x_2 > x_1$. Таким образом, $x_1 < x_2 \le 2$.

Найдем значения функции в этих точках:
$y_1 = f(x_1) = x_1^2 - 4x_1 + 3$
$y_2 = f(x_2) = x_2^2 - 4x_2 + 3$

Рассмотрим разность $y_2 - y_1$:
$y_2 - y_1 = (x_2^2 - 4x_2 + 3) - (x_1^2 - 4x_1 + 3) = x_2^2 - x_1^2 - 4x_2 + 4x_1 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) - 4(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 4)$.

Оценим знак полученного выражения:
1. Первый множитель: так как мы выбрали $x_2 > x_1$, то $x_2 - x_1 > 0$ (положительное число).
2. Второй множитель: так как $x_1 < 2$ и $x_2 \le 2$, то, сложив эти неравенства, получим $x_1 + x_2 < 2 + 2 = 4$. Следовательно, $x_1 + x_2 - 4 < 0$ (отрицательное число).

Таким образом, разность $y_2 - y_1$ представляет собой произведение положительного числа $(x_2 - x_1)$ на отрицательное число $(x_2 + x_1 - 4)$. Произведение чисел с разными знаками является отрицательным числом, следовательно, $y_2 - y_1 < 0$.
Из $y_2 - y_1 < 0$ следует, что $y_2 < y_1$.

Мы показали, что для любых $x_1, x_2 \in (-\infty; 2]$ из условия $x_2 > x_1$ следует $f(x_2) < f(x_1)$, что и доказывает убывание функции на данном промежутке.

Ответ: Доказано.