Номер 279, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

279. При каких значениях $a$ функция $f(x) = (a - 1)x^2 + 2ax + 6 - a$ имеет единственный нуль?

Для того чтобы найти значения параметра $a$, при которых функция $f(x) = (a - 1)x^2 + 2ax + 6 - a$ имеет единственный нуль, необходимо найти условия, при которых уравнение $f(x) = 0$ имеет ровно одно решение.

Запишем это уравнение: $(a - 1)x^2 + 2ax + 6 - a = 0$.

В зависимости от значения коэффициента при $x^2$, это уравнение может быть линейным или квадратным. Рассмотрим оба случая.

Случай 1. Уравнение является линейным

Это происходит, если коэффициент при $x^2$ равен нулю:$a - 1 = 0$, откуда $a = 1$.

Подставим это значение в исходное уравнение:$(1 - 1)x^2 + 2(1)x + 6 - 1 = 0$$0 \cdot x^2 + 2x + 5 = 0$$2x + 5 = 0$$x = -2.5$

При $a = 1$ уравнение имеет единственный корень, значит, это значение $a$ является решением.

Случай 2. Уравнение является квадратным

Это происходит, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю:$a - 1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$.

Квадратное уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ равен нулю.Для нашего уравнения коэффициенты равны: $A = a - 1$, $B = 2a$, $C = 6 - a$.

Вычислим дискриминант:$D = B^2 - 4AC = (2a)^2 - 4(a - 1)(6 - a)$$D = 4a^2 - 4(6a - a^2 - 6 + a)$$D = 4a^2 - 4(-a^2 + 7a - 6)$$D = 4a^2 + 4a^2 - 28a + 24$$D = 8a^2 - 28a + 24$

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти требуемые значения $a$:$8a^2 - 28a + 24 = 0$.

Для упрощения разделим все члены уравнения на 4:$2a^2 - 7a + 6 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $a$. Его дискриминант $D_a$ равен:$D_a = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.

Найдем корни уравнения для $a$:$a_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$a_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Оба найденных значения, $a = 1.5$ и $a = 2$, удовлетворяют условию $a \neq 1$, поэтому они также являются решениями.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, находим все значения параметра $a$, при которых функция имеет единственный нуль.

Ответ: $a=1; a=1.5; a=2$.