Номер 281, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

281. Сократите дробь:

1) $ \frac{x^2 + x - 6}{7x + 21} $;

2) $ \frac{2y - 16}{8 + 7y - y^2} $;

3) $ \frac{m^2 - 16m + 63}{m^2 - 81} $;

4) $ \frac{3a^2 + a - 2}{4 - 9a^2} $.

1) Для того чтобы сократить дробь $\frac{x^2 + x - 6}{7x + 21}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $x^2 + x - 6$ является квадратным трехчленом. Найдем его корни, решив уравнение $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Тогда разложение числителя на множители имеет вид: $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x - (-3)) = (x - 2)(x + 3)$.

Знаменатель $7x + 21$ разложим, вынеся общий множитель 7 за скобки: $7x + 21 = 7(x + 3)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $(x + 3)$:

$\frac{x^2 + x - 6}{7x + 21} = \frac{(x - 2)(x + 3)}{7(x + 3)} = \frac{x - 2}{7}$.

Ответ: $\frac{x - 2}{7}$.

2) Сократим дробь $\frac{2y - 16}{8 + 7y - y^2}$.

В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки: $2y - 16 = 2(y - 8)$.

Знаменатель $8 + 7y - y^2$ является квадратным трехчленом. Запишем его в стандартном виде $-y^2 + 7y + 8$ и найдем его корни, решив уравнение $-y^2 + 7y + 8 = 0$. Умножим уравнение на -1, чтобы получить $y^2 - 7y - 8 = 0$.

По теореме Виета, $y_1 + y_2 = 7$ и $y_1 \cdot y_2 = -8$. Корнями являются $y_1 = 8$ и $y_2 = -1$.

Разложение трехчлена $-y^2 + 7y + 8$ на множители: $-(y - 8)(y - (-1)) = -(y - 8)(y + 1)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{2y - 16}{8 + 7y - y^2} = \frac{2(y - 8)}{-(y - 8)(y + 1)}$.

Сократим общий множитель $(y - 8)$:

$\frac{2}{-(y + 1)} = -\frac{2}{y + 1}$.

Ответ: $-\frac{2}{y + 1}$.

3) Сократим дробь $\frac{m^2 - 16m + 63}{m^2 - 81}$.

Разложим на множители числитель $m^2 - 16m + 63$. Найдем корни уравнения $m^2 - 16m + 63 = 0$. По теореме Виета, $m_1 + m_2 = 16$ и $m_1 \cdot m_2 = 63$. Корни равны $m_1 = 7$ и $m_2 = 9$.

Следовательно, $m^2 - 16m + 63 = (m - 7)(m - 9)$.

Знаменатель $m^2 - 81$ является разностью квадратов. Разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$m^2 - 81 = m^2 - 9^2 = (m - 9)(m + 9)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:

$\frac{m^2 - 16m + 63}{m^2 - 81} = \frac{(m - 7)(m - 9)}{(m - 9)(m + 9)} = \frac{m - 7}{m + 9}$.

Ответ: $\frac{m - 7}{m + 9}$.

4) Сократим дробь $\frac{3a^2 + a - 2}{4 - 9a^2}$.

Разложим на множители числитель $3a^2 + a - 2$. Для этого решим уравнение $3a^2 + a - 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $a_1 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$; $a_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Разложение на множители имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$: $3a^2 + a - 2 = 3(a - (-1))(a - \frac{2}{3}) = 3(a + 1)(a - \frac{2}{3}) = (a + 1)(3a - 2)$.

Знаменатель $4 - 9a^2$ является разностью квадратов: $4 - 9a^2 = 2^2 - (3a)^2 = (2 - 3a)(2 + 3a)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{3a^2 + a - 2}{4 - 9a^2} = \frac{(a + 1)(3a - 2)}{(2 - 3a)(2 + 3a)}$.

Заметим, что множители $(3a - 2)$ и $(2 - 3a)$ являются противоположными, то есть $3a - 2 = -(2 - 3a)$. Заменим это в числителе:

$\frac{-(a + 1)(2 - 3a)}{(2 - 3a)(2 + 3a)}$.

Сократим общий множитель $(2 - 3a)$:

$\frac{-(a + 1)}{2 + 3a} = -\frac{a + 1}{3a + 2}$.

Ответ: $-\frac{a + 1}{3a + 2}$.