Номер 277, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

277. Докажите, что функция:

1) $y = \frac{7}{x+5}$ убывает на промежутке $(-5; +\infty)$;

2) $y = 6x - x^2$ возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$.

1) Чтобы доказать, что функция $y = \frac{7}{x+5}$ убывает на промежутке $(-5; +\infty)$, найдем ее производную и определим знак производной на этом промежутке. Функция является убывающей, если ее производная на заданном промежутке отрицательна ($y' < 0$).

Найдем производную функции $y(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$:

$y' = \left(\frac{7}{x+5}\right)' = (7(x+5)^{-1})' = 7 \cdot (-1) \cdot (x+5)^{-1-1} \cdot (x+5)' = -7(x+5)^{-2} \cdot 1 = -\frac{7}{(x+5)^2}$.

Теперь проанализируем знак производной $y'$ на промежутке $(-5; +\infty)$.

Для любого значения $x$ из промежутка $(-5; +\infty)$ выполняется неравенство $x > -5$, что означает $x+5 > 0$.

Знаменатель дроби, $(x+5)^2$, является квадратом ненулевого числа, поэтому он всегда будет строго положителен для всех $x$ из данного промежутка.

Числитель дроби равен $-7$, то есть является отрицательным числом.

Таким образом, производная $y' = -\frac{7}{(x+5)^2}$ представляет собой частное отрицательного числа и положительного числа, следовательно, $y' < 0$ для всех $x$ из промежутка $(-5; +\infty)$.

Поскольку производная функции отрицательна на всем указанном промежутке, это доказывает, что функция $y = \frac{7}{x+5}$ убывает на промежутке $(-5; +\infty)$.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Чтобы доказать, что функция $y = 6x - x^2$ возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$, найдем ее производную и определим, на каком промежутке она неотрицательна. Функция является возрастающей, если ее производная на заданном промежутке неотрицательна ($y' \ge 0$).

Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (6x - x^2)' = (6x)' - (x^2)' = 6 - 2x$.

Теперь найдем значения $x$, при которых производная неотрицательна. Для этого решим неравенство $y' \ge 0$:

$6 - 2x \ge 0$

Перенесем $-2x$ в правую часть неравенства (или $6$ в правую):

$-2x \ge -6$

Разделим обе части на $-2$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le 3$.

Таким образом, производная $y' = 6 - 2x$ является неотрицательной ($y' \ge 0$) при $x \le 3$, то есть на всем промежутке $(-\infty; 3]$.

Поскольку производная функции неотрицательна на указанном промежутке (причем равна нулю только в конечной точке $x=3$), это доказывает, что функция $y = 6x - x^2$ возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$.

Ответ: Утверждение доказано.