Номер 278, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

278. Докажите, что функция $y = \frac{k}{x}$ убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ при $k > 0$ и возрастает на каждом из этих промежутков при $k < 0$.

Для доказательства воспользуемся определением монотонности функции. Функция $y=f(x)$ называется убывающей на промежутке, если для любых $x_1, x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Функция называется возрастающей, если при $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Область определения функции $y = \frac{k}{x}$ это $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Доказательство нужно провести для каждого из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных значения аргумента из одного и того же промежутка области определения, причем $x_1 < x_2$. Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$f(x_2) - f(x_1) = \frac{k}{x_2} - \frac{k}{x_1} = k\left(\frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1}\right) = k\frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}$.

Проанализируем знак этого выражения.Поскольку $x_1 < x_2$, то числитель $x_1 - x_2$ всегда отрицателен.Знаменатель $x_1 x_2$ всегда положителен, так как по условию $x_1$ и $x_2$ принадлежат одному и тому же промежутку: либо оба больше нуля (на промежутке $(0; +\infty)$), либо оба меньше нуля (на промежутке $(-\infty; 0)$).Следовательно, дробь $\frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}$ всегда отрицательна.Таким образом, знак всей разности $f(x_2) - f(x_1)$ противоположен знаку коэффициента $k$.

убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ при $k > 0$

Пусть $k > 0$. Тогда разность $f(x_2) - f(x_1)$ будет отрицательной, так как она равна произведению положительного числа $k$ и отрицательной дроби $\frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}$.

$f(x_2) - f(x_1) < 0$, что эквивалентно $f(x_2) < f(x_1)$.

Согласно определению, если для любых $x_1 < x_2$ на промежутке выполняется $f(x_1) > f(x_2)$, то функция является убывающей. Это справедливо для обоих промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

возрастает на каждом из этих промежутков при $k < 0$

Пусть $k < 0$. Тогда разность $f(x_2) - f(x_1)$ будет положительной, так как она равна произведению отрицательного числа $k$ и отрицательной дроби $\frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}$.

$f(x_2) - f(x_1) > 0$, что эквивалентно $f(x_2) > f(x_1)$.

Согласно определению, если для любых $x_1 < x_2$ на промежутке выполняется $f(x_1) < f(x_2)$, то функция является возрастающей. Это справедливо для обоих промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.