Номер 1, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как можно получить график функции $y = kf(x)$, где $k \neq 0$, используя график функции $y = f(x)$?

Для получения графика функции $y=kf(x)$ из графика функции $y=f(x)$ необходимо выполнить преобразование, которое называется растяжением (сжатием) графика вдоль оси ординат (оси Oy). Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика, где $y_0 = f(x_0)$, переходит в точку $(x_0, k \cdot y_0)$. Это означает, что абсцисса каждой точки графика остается неизменной, а ордината умножается на коэффициент $k$.

Рассмотрим различные случаи в зависимости от значения коэффициента $k$.

В этом случае знак ординаты не меняется, происходит только изменение ее величины. График растягивается или сжимается вдоль оси Oy, при этом точки, лежащие на оси абсцисс (где $f(x)=0$), остаются на месте.

• Если $k > 1$, то происходит растяжение графика от оси Ox в $k$ раз. Все ординаты точек графика увеличиваются по модулю в $k$ раз, и точки "удаляются" от оси абсцисс.
• Если $0 < k < 1$, то происходит сжатие графика к оси Ox в $1/k$ раз. Все ординаты точек графика уменьшаются по модулю в $k$ раз, и точки "приближаются" к оси абсцисс.
• Если $k = 1$, то график функции не изменяется, так как $y = 1 \cdot f(x) = f(x)$.

В этом случае преобразование можно рассматривать как комбинацию двух действий: растяжения/сжатия и симметричного отражения. Пусть $k = -m$, где $m = |k| > 0$. Тогда функция принимает вид $y = -m \cdot f(x)$. Преобразование можно выполнить в два шага:

1. Сначала выполнить растяжение (если $m>1$) или сжатие (если $0<m<1$) графика $y=f(x)$ вдоль оси Oy с коэффициентом $m = |k|$. Получится график функции $y = |k|f(x)$.
2. Затем выполнить симметричное отражение полученного графика относительно оси абсцисс (оси Ox).

Иначе говоря, каждая точка $(x, y)$ исходного графика преобразуется в точку $(x, ky)$. Так как $k$ отрицательно, знак ординаты меняется на противоположный, а ее абсолютное значение умножается на $|k|$.

• Если $k < -1$, то происходит растяжение графика от оси Ox в $|k|$ раз с последующим отражением относительно оси Ox.
• Если $-1 < k < 0$, то происходит сжатие графика к оси Ox в $1/|k|$ раз с последующим отражением относительно оси Ox.
• Если $k = -1$, то происходит только симметричное отражение графика относительно оси Ox. График функции $y=-f(x)$ симметричен графику $y=f(x)$ относительно оси абсцисс.

Ответ: График функции $y = kf(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем преобразования ординат всех его точек. Абсцисса каждой точки остается прежней, а ордината умножается на коэффициент $k$.Если $k > 0$, происходит вертикальное растяжение графика от оси Ox (при $k > 1$) или сжатие к оси Ox (при $0 < k < 1$).Если $k < 0$, происходит такое же растяжение или сжатие с коэффициентом $|k|$, но с дополнительным симметричным отражением графика относительно оси Ox.