Номер 280, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

280. Постройте график функции $f(x) = x^2$, определённой на промежутке $[a; 2]$, где $a < 2$. Для каждого значения $a$ найдите наибольшее и наименьшее значения функции.

Построение графика функции

Функция $f(x) = x^2$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$. Нам нужно построить график этой функции на замкнутом промежутке $[a, 2]$, где $a < 2$.

Это означает, что мы рассматриваем не всю параболу, а только ее часть (дугу), которая находится между вертикальными линиями $x=a$ и $x=2$.

Правая граница этого участка графика всегда находится в одной и той же точке, так как правый конец промежутка зафиксирован: $x=2$. Значение функции в этой точке равно $f(2) = 2^2 = 4$. Таким образом, точка $(2, 4)$ всегда является правым концом дуги параболы.

Левая граница участка графика зависит от параметра $a$. Это точка с координатами $(a, f(a))$, то есть $(a, a^2)$. Поскольку $a$ может принимать любые значения, меньшие 2, эта точка будет перемещаться по параболе.

Ответ: Графиком функции является дуга параболы $y=x^2$, заключенная между точками $(a, a^2)$ и $(2, 4)$.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом промежутке достигаются либо на концах этого промежутка, либо в точках экстремума (минимума или максимума), принадлежащих этому промежутку.

Функция $f(x) = x^2$ имеет одну точку экстремума — точку минимума при $x=0$ (вершина параболы).

Таким образом, кандидатами на наибольшее и наименьшее значения являются значения функции в точках $x=a$, $x=2$ и, если она попадает в промежуток, в точке $x=0$.

Рассмотрим различные случаи в зависимости от расположения промежутка $[a, 2]$ относительно точки $x=0$.

1. Если $0 \le a < 2$

В этом случае промежуток $[a, 2]$ целиком лежит на возрастающем участке параболы (справа от вершины). Следовательно, наименьшее значение функция принимает в левой точке промежутка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $y_{наим} = f(a) = a^2$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(2) = 4$.

2. Если $a < 0$

В этом случае промежуток $[a, 2]$ содержит точку минимума $x=0$. Поэтому наименьшее значение функции на этом промежутке всегда будет достигаться в вершине параболы.
Наименьшее значение: $y_{наим} = f(0) = 0$.
Для нахождения наибольшего значения нужно сравнить значения функции на концах промежутка: $f(a) = a^2$ и $f(2) = 4$.

• Подслучай 2а: $-2 \le a < 0$. В этом случае $|a| \le 2$, поэтому $a^2 \le 4$. Наибольшим значением будет $f(2)$.
  Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(2) = 4$.

• Подслучай 2б: $a < -2$. В этом случае $|a| > 2$, поэтому $a^2 > 4$. Наибольшим значением будет $f(a)$.
  Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(a) = a^2$.

Ответ:
1. Если $a < -2$, то наименьшее значение $y_{наим} = 0$, наибольшее значение $y_{наиб} = a^2$.
2. Если $-2 \le a < 0$, то наименьшее значение $y_{наим} = 0$, наибольшее значение $y_{наиб} = 4$.
3. Если $0 \le a < 2$, то наименьшее значение $y_{наим} = a^2$, наибольшее значение $y_{наиб} = 4$.