Номер 274, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

274. Функция $y = f(x)$ является убывающей. Возрастающей или убывающей является функция (ответ обоснуйте):

1) $y = 3f(x)$;
2) $y = \frac{1}{3}f(x)$;
3) $y = -f(x)?$

Поскольку функция $y = f(x)$ является убывающей, то по определению для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

1) $y=3f(x)$;
Рассмотрим новую функцию $g(x) = 3f(x)$. Возьмем произвольные $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $x_1 < x_2$.Так как $f(x)$ — убывающая, то $f(x_1) > f(x_2)$.Умножим обе части этого неравенства на положительное число 3. Знак неравенства при этом не изменится:$3f(x_1) > 3f(x_2)$.Это означает, что $g(x_1) > g(x_2)$.Поскольку для любых $x_1 < x_2$ выполняется $g(x_1) > g(x_2)$, функция $y=3f(x)$ также является убывающей.
Ответ: убывающей.

2) $y=\frac{1}{3}f(x)$;
Рассмотрим новую функцию $h(x) = \frac{1}{3}f(x)$. Возьмем произвольные $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $x_1 < x_2$.Известно, что $f(x_1) > f(x_2)$.Умножим обе части этого неравенства на положительное число $\frac{1}{3}$. Знак неравенства сохранится:$\frac{1}{3}f(x_1) > \frac{1}{3}f(x_2)$.Это означает, что $h(x_1) > h(x_2)$.Поскольку для любых $x_1 < x_2$ выполняется $h(x_1) > h(x_2)$, функция $y=\frac{1}{3}f(x)$ также является убывающей.
Ответ: убывающей.

3) $y=-f(x)$?
Рассмотрим новую функцию $k(x) = -f(x)$. Возьмем произвольные $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $x_1 < x_2$.Так как $f(x)$ — убывающая, то $f(x_1) > f(x_2)$.Умножим обе части этого неравенства на отрицательное число -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:$-f(x_1) < -f(x_2)$.Это означает, что $k(x_1) < k(x_2)$.Поскольку для любых $x_1 < x_2$ выполняется $k(x_1) < k(x_2)$, функция $y=-f(x)$ является возрастающей.
Ответ: возрастающей.