Номер 275, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

275. Функция $y = f(x)$ возрастает на некотором промежутке. Возрастает или убывает на этом промежутке функция (ответ обоснуйте):

1) $y = \frac{1}{2}f(x)$;

2) $y = -2f(x)$?

По определению, функция $f(x)$ является возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Проанализируем каждую из предложенных функций, используя это определение и свойства числовых неравенств.

Пусть новая функция $g(x) = \frac{1}{2}f(x)$. Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из заданного промежутка, для которых выполняется условие $x_1 < x_2$.
Поскольку исходная функция $f(x)$ возрастает, для этих точек справедливо неравенство: $f(x_1) < f(x_2)$.
Умножим обе части этого неравенства на положительное число $\frac{1}{2}$. Знак неравенства при умножении на положительное число сохраняется:
$\frac{1}{2}f(x_1) < \frac{1}{2}f(x_2)$.
Следовательно, $g(x_1) < g(x_2)$.
Мы получили, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется $g(x_1) < g(x_2)$, что по определению означает, что функция $y = \frac{1}{2}f(x)$ возрастает на том же промежутке.
Ответ: функция возрастает.

Пусть новая функция $h(x) = -2f(x)$. Снова возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из заданного промежутка, такие что $x_1 < x_2$.
Так как исходная функция $f(x)$ возрастает, для этих точек справедливо неравенство: $f(x_1) < f(x_2)$.
Умножим обе части этого неравенства на отрицательное число $-2$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$-2f(x_1) > -2f(x_2)$.
Следовательно, $h(x_1) > h(x_2)$.
Мы получили, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется $h(x_1) > h(x_2)$, что по определению означает, что функция $y = -2f(x)$ убывает на том же промежутке.
Ответ: функция убывает.