Номер 283, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

283. Два экскаватора разных моделей вырыли котлован за 8 ч. Первый экскаватор, работая самостоятельно, может вырыть такой котлован в 4 раза быстрее, чем второй. За сколько часов может вырыть такой котлован каждый экскаватор, работая самостоятельно?

Для решения этой задачи примем всю работу по выкапыванию котлована за 1 (единицу).

Пусть $t_1$ – это время в часах, за которое первый экскаватор может вырыть котлован, работая самостоятельно, а $t_2$ – время в часах, за которое эту же работу выполнит второй экскаватор.

Тогда производительность (скорость работы) первого экскаватора равна $v_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть котлована в час), а производительность второго – $v_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть котлована в час).

Согласно условию, два экскаватора, работая вместе, вырыли котлован за 8 часов. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $v_1 + v_2$. Работа, выполненная вместе, равна произведению совместной производительности на время:

$(v_1 + v_2) \cdot 8 = 1$

Отсюда их совместная производительность:

$v_1 + v_2 = \frac{1}{8}$

Подставив выражения для производительностей через время, получим первое уравнение:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{8}$

Также в условии сказано, что первый экскаватор, работая самостоятельно, может вырыть котлован в 4 раза быстрее, чем второй. Это означает, что первому экскаватору требуется в 4 раза меньше времени, чем второму. Отсюда получаем второе уравнение:

$t_2 = 4t_1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{8} \\ t_2 = 4t_1 \end{cases} $

Подставим выражение для $t_2$ из второго уравнения в первое:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{4t_1} = \frac{1}{8}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $4t_1$:

$\frac{4}{4t_1} + \frac{1}{4t_1} = \frac{1}{8}$

$\frac{5}{4t_1} = \frac{1}{8}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$5 \cdot 8 = 1 \cdot 4t_1$

$40 = 4t_1$

$t_1 = \frac{40}{4}$

$t_1 = 10$

Таким образом, время работы первого экскаватора составляет 10 часов. Теперь найдем время работы второго экскаватора:

$t_2 = 4t_1 = 4 \cdot 10 = 40$

Время работы второго экскаватора составляет 40 часов.

Ответ: первый экскаватор может вырыть котлован за 10 часов, а второй экскаватор — за 40 часов.