Номер 6, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. Какова область значений функции $y = ax^2$ при $a > 0$; при $a < 0$?

при a > 0:

Рассмотрим функцию $y = ax^2$, где $a$ — положительный коэффициент ($a > 0$).

Выражение $x^2$ (квадрат любого действительного числа) всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$.

При умножении этого неотрицательного значения $x^2$ на положительное число $a$, результат также будет неотрицательным. Таким образом, $y = ax^2 \ge 0$.

Минимальное значение функции достигается при $x=0$, и оно равно $y = a \cdot 0^2 = 0$.

Поскольку $x$ может принимать любые действительные значения, $x^2$ может быть сколь угодно большим. Соответственно, произведение $ax^2$ также может быть сколь угодно большим.

Следовательно, область значений функции — это все числа от 0, включая 0, до плюс бесконечности. Графически это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

Ответ: $[0; +\infty)$.

при a < 0:

Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент $a$ — отрицательное число ($a < 0$).

Значение $x^2$ по-прежнему неотрицательно: $x^2 \ge 0$.

Однако при умножении неотрицательного значения $x^2$ на отрицательное число $a$, результат будет неположительным (то есть меньше или равен нулю). Таким образом, $y = ax^2 \le 0$.

Максимальное значение функции достигается при $x=0$, и оно равно $y = a \cdot 0^2 = 0$.

При увеличении абсолютного значения $x$, значение $x^2$ растет, а произведение $ax^2$ (с отрицательным $a$) будет уменьшаться, стремясь к минус бесконечности.

Следовательно, область значений функции — это все числа от минус бесконечности до 0, включая 0. Графически это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вниз.

Ответ: $(-\infty; 0]$.