Номер 8, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

8. В каких координатных четвертях находится график функции $y = ax^2$ при $a > 0$; при $a < 0$?

Функция $y = ax^2$ задает параболу, вершина которой находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. В зависимости от знака коэффициента $a$, ветви этой параболы будут направлены либо вверх, либо вниз, что и определяет их расположение в координатных четвертях.

Напомним, что I четверть соответствует условиям $x > 0, y > 0$; II четверть — $x < 0, y > 0$; III четверть — $x < 0, y < 0$; IV четверть — $x > 0, y < 0$.

при a > 0

Проанализируем знаки переменных в уравнении $y = ax^2$. Квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$. По условию, коэффициент $a$ — положительное число ($a > 0$). Произведение положительного числа $a$ на неотрицательное число $x^2$ всегда будет неотрицательным. Таким образом, получаем, что $y \ge 0$. Это означает, что все точки графика, за исключением вершины $(0, 0)$, будут иметь положительную ординату ($y > 0$). Точки с положительной ординатой находятся в I и II координатных четвертях. Если $x > 0$, то точка $(x, y)$ лежит в I четверти. Если $x < 0$, то точка $(x, y)$ лежит во II четверти. Следовательно, ветви параболы направлены вверх и расположены в первой и второй четвертях.
Ответ: при $a > 0$ график функции находится в I и II координатных четвертях.

при a < 0

В этом случае, как и в предыдущем, $x^2 \ge 0$. Однако коэффициент $a$ является отрицательным числом ($a < 0$). При умножении неотрицательного числа $x^2$ на отрицательное число $a$, результат будет неположительным. Таким образом, получаем, что $y \le 0$. Это означает, что все точки графика, за исключением вершины $(0, 0)$, будут иметь отрицательную ординату ($y < 0$). Точки с отрицательной ординатой находятся в III и IV координатных четвертях. Если $x < 0$, то точка $(x, y)$ лежит в III четверти. Если $x > 0$, то точка $(x, y)$ лежит в IV четверти. Следовательно, ветви параболы направлены вниз и расположены в третьей и четвертой четвертях.
Ответ: при $a < 0$ график функции находится в III и IV координатных четвертях.