Страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

276. Докажите, что функция:

1) $y = \frac{6}{3-x}$ возрастает на промежутке $(3; +\infty)$;

2) $y = x^2 - 4x + 3$ убывает на промежутке $(-\infty; 2]$.

1) Чтобы доказать, что функция $y = \frac{6}{3-x}$ возрастает на промежутке $(3; +\infty)$, воспользуемся определением возрастающей функции. Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(3; +\infty)$, причем $x_2 > x_1$. Таким образом, $3 < x_1 < x_2$.

Найдем значения функции в этих точках:
$y_1 = f(x_1) = \frac{6}{3-x_1}$
$y_2 = f(x_2) = \frac{6}{3-x_2}$

Рассмотрим разность $y_2 - y_1$:
$y_2 - y_1 = \frac{6}{3-x_2} - \frac{6}{3-x_1} = 6 \left( \frac{1}{3-x_2} - \frac{1}{3-x_1} \right) = 6 \cdot \frac{(3-x_1) - (3-x_2)}{(3-x_2)(3-x_1)} = 6 \cdot \frac{3 - x_1 - 3 + x_2}{(3-x_2)(3-x_1)} = 6 \cdot \frac{x_2 - x_1}{(3-x_2)(3-x_1)}$.

Оценим знак полученного выражения:
1. Числитель: так как мы выбрали $x_2 > x_1$, то $x_2 - x_1 > 0$ (положительное число).
2. Знаменатель: так как $x_1 > 3$ и $x_2 > 3$, то $(3 - x_1)$ — отрицательное число, и $(3 - x_2)$ — отрицательное число. Произведение двух отрицательных чисел является положительным: $(3-x_2)(3-x_1) > 0$.

Таким образом, разность $y_2 - y_1$ представляет собой произведение положительного числа 6 на дробь, у которой и числитель, и знаменатель положительны. Следовательно, вся дробь положительна, и $y_2 - y_1 > 0$.
Из $y_2 - y_1 > 0$ следует, что $y_2 > y_1$.

Мы показали, что для любых $x_1, x_2 \in (3; +\infty)$ из условия $x_2 > x_1$ следует $f(x_2) > f(x_1)$, что и доказывает возрастание функции на данном промежутке.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что функция $y = x^2 - 4x + 3$ убывает на промежутке $(-\infty; 2]$, воспользуемся определением убывающей функции. Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 2]$, причем $x_2 > x_1$. Таким образом, $x_1 < x_2 \le 2$.

Найдем значения функции в этих точках:
$y_1 = f(x_1) = x_1^2 - 4x_1 + 3$
$y_2 = f(x_2) = x_2^2 - 4x_2 + 3$

Рассмотрим разность $y_2 - y_1$:
$y_2 - y_1 = (x_2^2 - 4x_2 + 3) - (x_1^2 - 4x_1 + 3) = x_2^2 - x_1^2 - 4x_2 + 4x_1 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) - 4(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 4)$.

Оценим знак полученного выражения:
1. Первый множитель: так как мы выбрали $x_2 > x_1$, то $x_2 - x_1 > 0$ (положительное число).
2. Второй множитель: так как $x_1 < 2$ и $x_2 \le 2$, то, сложив эти неравенства, получим $x_1 + x_2 < 2 + 2 = 4$. Следовательно, $x_1 + x_2 - 4 < 0$ (отрицательное число).

Таким образом, разность $y_2 - y_1$ представляет собой произведение положительного числа $(x_2 - x_1)$ на отрицательное число $(x_2 + x_1 - 4)$. Произведение чисел с разными знаками является отрицательным числом, следовательно, $y_2 - y_1 < 0$.
Из $y_2 - y_1 < 0$ следует, что $y_2 < y_1$.

Мы показали, что для любых $x_1, x_2 \in (-\infty; 2]$ из условия $x_2 > x_1$ следует $f(x_2) < f(x_1)$, что и доказывает убывание функции на данном промежутке.

Ответ: Доказано.

277. Докажите, что функция:

1) $y = \frac{7}{x+5}$ убывает на промежутке $(-5; +\infty)$;

2) $y = 6x - x^2$ возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$.

1) Чтобы доказать, что функция $y = \frac{7}{x+5}$ убывает на промежутке $(-5; +\infty)$, найдем ее производную и определим знак производной на этом промежутке. Функция является убывающей, если ее производная на заданном промежутке отрицательна ($y' < 0$).

Найдем производную функции $y(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$:

$y' = \left(\frac{7}{x+5}\right)' = (7(x+5)^{-1})' = 7 \cdot (-1) \cdot (x+5)^{-1-1} \cdot (x+5)' = -7(x+5)^{-2} \cdot 1 = -\frac{7}{(x+5)^2}$.

Теперь проанализируем знак производной $y'$ на промежутке $(-5; +\infty)$.

Для любого значения $x$ из промежутка $(-5; +\infty)$ выполняется неравенство $x > -5$, что означает $x+5 > 0$.

Знаменатель дроби, $(x+5)^2$, является квадратом ненулевого числа, поэтому он всегда будет строго положителен для всех $x$ из данного промежутка.

Числитель дроби равен $-7$, то есть является отрицательным числом.

Таким образом, производная $y' = -\frac{7}{(x+5)^2}$ представляет собой частное отрицательного числа и положительного числа, следовательно, $y' < 0$ для всех $x$ из промежутка $(-5; +\infty)$.

Поскольку производная функции отрицательна на всем указанном промежутке, это доказывает, что функция $y = \frac{7}{x+5}$ убывает на промежутке $(-5; +\infty)$.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Чтобы доказать, что функция $y = 6x - x^2$ возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$, найдем ее производную и определим, на каком промежутке она неотрицательна. Функция является возрастающей, если ее производная на заданном промежутке неотрицательна ($y' \ge 0$).

Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (6x - x^2)' = (6x)' - (x^2)' = 6 - 2x$.

Теперь найдем значения $x$, при которых производная неотрицательна. Для этого решим неравенство $y' \ge 0$:

$6 - 2x \ge 0$

Перенесем $-2x$ в правую часть неравенства (или $6$ в правую):

$-2x \ge -6$

Разделим обе части на $-2$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le 3$.

Таким образом, производная $y' = 6 - 2x$ является неотрицательной ($y' \ge 0$) при $x \le 3$, то есть на всем промежутке $(-\infty; 3]$.

Поскольку производная функции неотрицательна на указанном промежутке (причем равна нулю только в конечной точке $x=3$), это доказывает, что функция $y = 6x - x^2$ возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$.

Ответ: Утверждение доказано.

278. Докажите, что функция $y = \frac{k}{x}$ убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ при $k > 0$ и возрастает на каждом из этих промежутков при $k < 0$.

Для доказательства воспользуемся определением монотонности функции. Функция $y=f(x)$ называется убывающей на промежутке, если для любых $x_1, x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Функция называется возрастающей, если при $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Область определения функции $y = \frac{k}{x}$ это $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Доказательство нужно провести для каждого из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных значения аргумента из одного и того же промежутка области определения, причем $x_1 < x_2$. Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$f(x_2) - f(x_1) = \frac{k}{x_2} - \frac{k}{x_1} = k\left(\frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1}\right) = k\frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}$.

Проанализируем знак этого выражения.Поскольку $x_1 < x_2$, то числитель $x_1 - x_2$ всегда отрицателен.Знаменатель $x_1 x_2$ всегда положителен, так как по условию $x_1$ и $x_2$ принадлежат одному и тому же промежутку: либо оба больше нуля (на промежутке $(0; +\infty)$), либо оба меньше нуля (на промежутке $(-\infty; 0)$).Следовательно, дробь $\frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}$ всегда отрицательна.Таким образом, знак всей разности $f(x_2) - f(x_1)$ противоположен знаку коэффициента $k$.

убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ при $k > 0$

Пусть $k > 0$. Тогда разность $f(x_2) - f(x_1)$ будет отрицательной, так как она равна произведению положительного числа $k$ и отрицательной дроби $\frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}$.

$f(x_2) - f(x_1) < 0$, что эквивалентно $f(x_2) < f(x_1)$.

Согласно определению, если для любых $x_1 < x_2$ на промежутке выполняется $f(x_1) > f(x_2)$, то функция является убывающей. Это справедливо для обоих промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

возрастает на каждом из этих промежутков при $k < 0$

Пусть $k < 0$. Тогда разность $f(x_2) - f(x_1)$ будет положительной, так как она равна произведению отрицательного числа $k$ и отрицательной дроби $\frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}$.

$f(x_2) - f(x_1) > 0$, что эквивалентно $f(x_2) > f(x_1)$.

Согласно определению, если для любых $x_1 < x_2$ на промежутке выполняется $f(x_1) < f(x_2)$, то функция является возрастающей. Это справедливо для обоих промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

279. При каких значениях $a$ функция $f(x) = (a - 1)x^2 + 2ax + 6 - a$ имеет единственный нуль?

Для того чтобы найти значения параметра $a$, при которых функция $f(x) = (a - 1)x^2 + 2ax + 6 - a$ имеет единственный нуль, необходимо найти условия, при которых уравнение $f(x) = 0$ имеет ровно одно решение.

Запишем это уравнение: $(a - 1)x^2 + 2ax + 6 - a = 0$.

В зависимости от значения коэффициента при $x^2$, это уравнение может быть линейным или квадратным. Рассмотрим оба случая.

Случай 1. Уравнение является линейным

Это происходит, если коэффициент при $x^2$ равен нулю:$a - 1 = 0$, откуда $a = 1$.

Подставим это значение в исходное уравнение:$(1 - 1)x^2 + 2(1)x + 6 - 1 = 0$$0 \cdot x^2 + 2x + 5 = 0$$2x + 5 = 0$$x = -2.5$

При $a = 1$ уравнение имеет единственный корень, значит, это значение $a$ является решением.

Случай 2. Уравнение является квадратным

Это происходит, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю:$a - 1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$.

Квадратное уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ равен нулю.Для нашего уравнения коэффициенты равны: $A = a - 1$, $B = 2a$, $C = 6 - a$.

Вычислим дискриминант:$D = B^2 - 4AC = (2a)^2 - 4(a - 1)(6 - a)$$D = 4a^2 - 4(6a - a^2 - 6 + a)$$D = 4a^2 - 4(-a^2 + 7a - 6)$$D = 4a^2 + 4a^2 - 28a + 24$$D = 8a^2 - 28a + 24$

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти требуемые значения $a$:$8a^2 - 28a + 24 = 0$.

Для упрощения разделим все члены уравнения на 4:$2a^2 - 7a + 6 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $a$. Его дискриминант $D_a$ равен:$D_a = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.

Найдем корни уравнения для $a$:$a_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$a_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Оба найденных значения, $a = 1.5$ и $a = 2$, удовлетворяют условию $a \neq 1$, поэтому они также являются решениями.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, находим все значения параметра $a$, при которых функция имеет единственный нуль.

Ответ: $a=1; a=1.5; a=2$.

280. Постройте график функции $f(x) = x^2$, определённой на промежутке $[a; 2]$, где $a < 2$. Для каждого значения $a$ найдите наибольшее и наименьшее значения функции.

Построение графика функции

Функция $f(x) = x^2$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$. Нам нужно построить график этой функции на замкнутом промежутке $[a, 2]$, где $a < 2$.

Это означает, что мы рассматриваем не всю параболу, а только ее часть (дугу), которая находится между вертикальными линиями $x=a$ и $x=2$.

Правая граница этого участка графика всегда находится в одной и той же точке, так как правый конец промежутка зафиксирован: $x=2$. Значение функции в этой точке равно $f(2) = 2^2 = 4$. Таким образом, точка $(2, 4)$ всегда является правым концом дуги параболы.

Левая граница участка графика зависит от параметра $a$. Это точка с координатами $(a, f(a))$, то есть $(a, a^2)$. Поскольку $a$ может принимать любые значения, меньшие 2, эта точка будет перемещаться по параболе.

Ответ: Графиком функции является дуга параболы $y=x^2$, заключенная между точками $(a, a^2)$ и $(2, 4)$.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом промежутке достигаются либо на концах этого промежутка, либо в точках экстремума (минимума или максимума), принадлежащих этому промежутку.

Функция $f(x) = x^2$ имеет одну точку экстремума — точку минимума при $x=0$ (вершина параболы).

Таким образом, кандидатами на наибольшее и наименьшее значения являются значения функции в точках $x=a$, $x=2$ и, если она попадает в промежуток, в точке $x=0$.

Рассмотрим различные случаи в зависимости от расположения промежутка $[a, 2]$ относительно точки $x=0$.

1. Если $0 \le a < 2$

В этом случае промежуток $[a, 2]$ целиком лежит на возрастающем участке параболы (справа от вершины). Следовательно, наименьшее значение функция принимает в левой точке промежутка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $y_{наим} = f(a) = a^2$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(2) = 4$.

2. Если $a < 0$

В этом случае промежуток $[a, 2]$ содержит точку минимума $x=0$. Поэтому наименьшее значение функции на этом промежутке всегда будет достигаться в вершине параболы.
Наименьшее значение: $y_{наим} = f(0) = 0$.
Для нахождения наибольшего значения нужно сравнить значения функции на концах промежутка: $f(a) = a^2$ и $f(2) = 4$.

• Подслучай 2а: $-2 \le a < 0$. В этом случае $|a| \le 2$, поэтому $a^2 \le 4$. Наибольшим значением будет $f(2)$.
  Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(2) = 4$.

• Подслучай 2б: $a < -2$. В этом случае $|a| > 2$, поэтому $a^2 > 4$. Наибольшим значением будет $f(a)$.
  Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(a) = a^2$.

Ответ:
1. Если $a < -2$, то наименьшее значение $y_{наим} = 0$, наибольшее значение $y_{наиб} = a^2$.
2. Если $-2 \le a < 0$, то наименьшее значение $y_{наим} = 0$, наибольшее значение $y_{наиб} = 4$.
3. Если $0 \le a < 2$, то наименьшее значение $y_{наим} = a^2$, наибольшее значение $y_{наиб} = 4$.

281. Сократите дробь:

1) $ \frac{x^2 + x - 6}{7x + 21} $;

2) $ \frac{2y - 16}{8 + 7y - y^2} $;

3) $ \frac{m^2 - 16m + 63}{m^2 - 81} $;

4) $ \frac{3a^2 + a - 2}{4 - 9a^2} $.

1) Для того чтобы сократить дробь $\frac{x^2 + x - 6}{7x + 21}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $x^2 + x - 6$ является квадратным трехчленом. Найдем его корни, решив уравнение $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Тогда разложение числителя на множители имеет вид: $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x - (-3)) = (x - 2)(x + 3)$.

Знаменатель $7x + 21$ разложим, вынеся общий множитель 7 за скобки: $7x + 21 = 7(x + 3)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $(x + 3)$:

$\frac{x^2 + x - 6}{7x + 21} = \frac{(x - 2)(x + 3)}{7(x + 3)} = \frac{x - 2}{7}$.

Ответ: $\frac{x - 2}{7}$.

2) Сократим дробь $\frac{2y - 16}{8 + 7y - y^2}$.

В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки: $2y - 16 = 2(y - 8)$.

Знаменатель $8 + 7y - y^2$ является квадратным трехчленом. Запишем его в стандартном виде $-y^2 + 7y + 8$ и найдем его корни, решив уравнение $-y^2 + 7y + 8 = 0$. Умножим уравнение на -1, чтобы получить $y^2 - 7y - 8 = 0$.

По теореме Виета, $y_1 + y_2 = 7$ и $y_1 \cdot y_2 = -8$. Корнями являются $y_1 = 8$ и $y_2 = -1$.

Разложение трехчлена $-y^2 + 7y + 8$ на множители: $-(y - 8)(y - (-1)) = -(y - 8)(y + 1)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{2y - 16}{8 + 7y - y^2} = \frac{2(y - 8)}{-(y - 8)(y + 1)}$.

Сократим общий множитель $(y - 8)$:

$\frac{2}{-(y + 1)} = -\frac{2}{y + 1}$.

Ответ: $-\frac{2}{y + 1}$.

3) Сократим дробь $\frac{m^2 - 16m + 63}{m^2 - 81}$.

Разложим на множители числитель $m^2 - 16m + 63$. Найдем корни уравнения $m^2 - 16m + 63 = 0$. По теореме Виета, $m_1 + m_2 = 16$ и $m_1 \cdot m_2 = 63$. Корни равны $m_1 = 7$ и $m_2 = 9$.

Следовательно, $m^2 - 16m + 63 = (m - 7)(m - 9)$.

Знаменатель $m^2 - 81$ является разностью квадратов. Разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$m^2 - 81 = m^2 - 9^2 = (m - 9)(m + 9)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:

$\frac{m^2 - 16m + 63}{m^2 - 81} = \frac{(m - 7)(m - 9)}{(m - 9)(m + 9)} = \frac{m - 7}{m + 9}$.

Ответ: $\frac{m - 7}{m + 9}$.

4) Сократим дробь $\frac{3a^2 + a - 2}{4 - 9a^2}$.

Разложим на множители числитель $3a^2 + a - 2$. Для этого решим уравнение $3a^2 + a - 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $a_1 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$; $a_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Разложение на множители имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$: $3a^2 + a - 2 = 3(a - (-1))(a - \frac{2}{3}) = 3(a + 1)(a - \frac{2}{3}) = (a + 1)(3a - 2)$.

Знаменатель $4 - 9a^2$ является разностью квадратов: $4 - 9a^2 = 2^2 - (3a)^2 = (2 - 3a)(2 + 3a)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{3a^2 + a - 2}{4 - 9a^2} = \frac{(a + 1)(3a - 2)}{(2 - 3a)(2 + 3a)}$.

Заметим, что множители $(3a - 2)$ и $(2 - 3a)$ являются противоположными, то есть $3a - 2 = -(2 - 3a)$. Заменим это в числителе:

$\frac{-(a + 1)(2 - 3a)}{(2 - 3a)(2 + 3a)}$.

Сократим общий множитель $(2 - 3a)$:

$\frac{-(a + 1)}{2 + 3a} = -\frac{a + 1}{3a + 2}$.

Ответ: $-\frac{a + 1}{3a + 2}$.

282. Выполните умножение:

1) $(\sqrt{11} + \sqrt{6})(\sqrt{11} - \sqrt{6});$

2) $(\sqrt{32} - 5)(\sqrt{32} + 5);$

3) $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2;$

4) $(\sqrt{10} + 8)^2.$

1) Для решения этого примера используем формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = \sqrt{11}$ и $b = \sqrt{6}$.
Подставим значения в формулу:
$(\sqrt{11} + \sqrt{6})(\sqrt{11} - \sqrt{6}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{6})^2 = 11 - 6 = 5$.
Ответ: 5.

2) Этот пример также решается с помощью формулы разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Здесь $a = \sqrt{32}$ и $b = 5$.
Подставим значения в формулу:
$(\sqrt{32} - 5)(\sqrt{32} + 5) = (\sqrt{32})^2 - 5^2 = 32 - 25 = 7$.
Ответ: 7.

3) Для решения этого примера используем формулу сокращенного умножения "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a = \sqrt{5}$ и $b = \sqrt{3}$.
Подставим значения в формулу:
$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{5 \cdot 3} + 3 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$.
Ответ: $8 + 2\sqrt{15}$.

4) Этот пример также решается с помощью формулы квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a = \sqrt{10}$ и $b = 8$.
Подставим значения в формулу:
$(\sqrt{10} + 8)^2 = (\sqrt{10})^2 + 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 8 + 8^2 = 10 + 16\sqrt{10} + 64 = 74 + 16\sqrt{10}$.
Ответ: $74 + 16\sqrt{10}$.

283. Два экскаватора разных моделей вырыли котлован за 8 ч. Первый экскаватор, работая самостоятельно, может вырыть такой котлован в 4 раза быстрее, чем второй. За сколько часов может вырыть такой котлован каждый экскаватор, работая самостоятельно?

Для решения этой задачи примем всю работу по выкапыванию котлована за 1 (единицу).

Пусть $t_1$ – это время в часах, за которое первый экскаватор может вырыть котлован, работая самостоятельно, а $t_2$ – время в часах, за которое эту же работу выполнит второй экскаватор.

Тогда производительность (скорость работы) первого экскаватора равна $v_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть котлована в час), а производительность второго – $v_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть котлована в час).

Согласно условию, два экскаватора, работая вместе, вырыли котлован за 8 часов. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $v_1 + v_2$. Работа, выполненная вместе, равна произведению совместной производительности на время:

$(v_1 + v_2) \cdot 8 = 1$

Отсюда их совместная производительность:

$v_1 + v_2 = \frac{1}{8}$

Подставив выражения для производительностей через время, получим первое уравнение:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{8}$

Также в условии сказано, что первый экскаватор, работая самостоятельно, может вырыть котлован в 4 раза быстрее, чем второй. Это означает, что первому экскаватору требуется в 4 раза меньше времени, чем второму. Отсюда получаем второе уравнение:

$t_2 = 4t_1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{8} \\ t_2 = 4t_1 \end{cases} $

Подставим выражение для $t_2$ из второго уравнения в первое:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{4t_1} = \frac{1}{8}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $4t_1$:

$\frac{4}{4t_1} + \frac{1}{4t_1} = \frac{1}{8}$

$\frac{5}{4t_1} = \frac{1}{8}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$5 \cdot 8 = 1 \cdot 4t_1$

$40 = 4t_1$

$t_1 = \frac{40}{4}$

$t_1 = 10$

Таким образом, время работы первого экскаватора составляет 10 часов. Теперь найдем время работы второго экскаватора:

$t_2 = 4t_1 = 4 \cdot 10 = 40$

Время работы второго экскаватора составляет 40 часов.

Ответ: первый экскаватор может вырыть котлован за 10 часов, а второй экскаватор — за 40 часов.

284. В раствор массой 200 г, содержащий 12 % соли, добавили 20 г соли. Каким стало процентное содержание соли в новом растворе?

Для решения этой задачи нужно последовательно выполнить несколько действий.

1. Определим начальное количество соли в растворе.
Исходная масса раствора составляет 200 г, а процентное содержание соли в нём — 12%. Чтобы найти массу соли, нужно общую массу раствора умножить на долю соли.
Масса соли = $200 \text{ г} \cdot 12\% = 200 \cdot \frac{12}{100} = 24 \text{ г}$.
Итак, в первоначальном растворе содержалось 24 г соли.

2. Рассчитаем новые параметры раствора после добавления соли.
В раствор добавили 20 г соли. Это увеличило как массу соли, так и общую массу раствора.
Новая масса соли: $24 \text{ г} + 20 \text{ г} = 44 \text{ г}$.
Новая масса раствора: $200 \text{ г} + 20 \text{ г} = 220 \text{ г}$.

3. Вычислим новое процентное содержание соли.
Процентное содержание (или массовая доля) находится по формуле:
$\omega = \frac{\text{масса растворенного вещества}}{\text{масса раствора}} \cdot 100\%$
Подставим наши новые значения:
$\omega_{новая} = \frac{44 \text{ г}}{220 \text{ г}} \cdot 100\%$.
Упростим дробь $\frac{44}{220}$. Оба числа делятся на 44: $44 \div 44 = 1$ и $220 \div 44 = 5$. Получаем $\frac{1}{5}$.
$\omega_{новая} = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 0.2 \cdot 100\% = 20\%$.

Ответ: 20%.