Страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

292. На рисунке 36 изображён график функции $y = ax^2$. Найдите значение $a$.

Рис. 36

а

б

а

Функция задана уравнением $y=ax^2$. Графиком является парабола с вершиной в точке $(0,0)$. Чтобы найти значение коэффициента $a$, нужно выбрать на графике любую точку, отличную от вершины, и подставить её координаты в уравнение.

На графике а выберем точку с целочисленными координатами, например, точку $(2, 2)$.

Подставим $x=2$ и $y=2$ в уравнение функции:

$2 = a \cdot (2)^2$

$2 = a \cdot 4$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:

$a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $a = \frac{1}{2}$.

б

Для второго графика используем тот же подход. Функция задана тем же уравнением $y=ax^2$. Ветки параболы направлены вниз, следовательно, коэффициент $a$ будет отрицательным.

Выберем на графике б точку с удобными координатами, например, $(2, -1)$.

Подставим $x=2$ и $y=-1$ в уравнение функции:

$-1 = a \cdot (2)^2$

$-1 = a \cdot 4$

Решим уравнение и найдем $a$:

$a = -\frac{1}{4}$

Для проверки можно использовать другую точку с графика, например, $(4, -4)$:

$-4 = a \cdot (4)^2$

$-4 = a \cdot 16$

$a = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}$

Значение $a$ совпало, значит, расчеты верны.

Ответ: $a = -\frac{1}{4}$.

293. На рисунке 37 изображён график функции $y = ax^2$. Найдите значение $a$.

Рис. 37

а

б

а

Для нахождения коэффициента $a$ в уравнении функции $y = ax^2$ необходимо выбрать на графике точку с известными координатами (отличную от начала координат) и подставить их в уравнение.

На графике а мы видим, что парабола проходит через точку с координатами $(1, 1)$. Подставим $x=1$ и $y=1$ в уравнение функции:

$1 = a \cdot 1^2$

$1 = a \cdot 1$

$a = 1$

Для проверки можно взять другую точку, например, $(2, 4)$:

$4 = a \cdot 2^2$

$4 = a \cdot 4$

$a = 1$

Значения совпадают, следовательно, коэффициент $a$ найден верно.

Ответ: $a = 1$.

б

Аналогично поступим с графиком б. Выберем на параболе точку с хорошо читаемыми координатами, например, $(2, -1)$.

Подставим значения $x=2$ и $y=-1$ в уравнение $y = ax^2$:

$-1 = a \cdot 2^2$

$-1 = a \cdot 4$

$a = -\frac{1}{4}$

Для проверки можно взять симметричную точку $(-2, -1)$:

$-1 = a \cdot (-2)^2$

$-1 = a \cdot 4$

$a = -\frac{1}{4}$

Значения совпадают. Ветки параболы направлены вниз, что соответствует отрицательному значению коэффициента $a$.

Ответ: $a = -\frac{1}{4}$.

294. На рисунке 38 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{2}f(x)$;

2) $y = -f(x)$;

3) $y = -2f(x)$.

Для построения графиков указанных функций необходимо выполнить преобразования исходного графика функции $y=f(x)$, который должен быть изображен на рисунке 38. Так как сам рисунок в вопросе отсутствует, ниже приведено общее правило построения для каждого случая. Чтобы построить требуемый график, нужно применить эти правила к исходному графику.

1) $y = \frac{1}{2}f(x)$

График функции вида $y = k \cdot f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем растяжения или сжатия вдоль оси ординат (оси OY). Абсциссы всех точек графика остаются неизменными, а ординаты умножаются на коэффициент $k$.

В данном случае коэффициент $k = \frac{1}{2}$. Так как $0 < k < 1$, данное преобразование является вертикальным сжатием графика к оси абсцисс (оси OX).

Алгоритм построения:

1. Выбрать на исходном графике $y = f(x)$ несколько характерных точек (например, точки экстремумов, точки пересечения с осями). Пусть координаты одной из таких точек $(x_0, y_0)$.
2. Для каждой выбранной точки найти соответствующую точку на новом графике. Ее абсцисса останется прежней ($x_0$), а ордината станет равной $y_0 \cdot \frac{1}{2}$. Таким образом, новые координаты будут $(x_0, \frac{1}{2}y_0)$.
3. Отметить полученные точки на координатной плоскости.
4. Соединить новые точки плавной линией, сохраняя общую форму исходного графика.
5. Обратите внимание, что точки, в которых исходный график пересекал ось OX (точки, где $y=0$), останутся на своих местах.

Ответ: Для построения графика функции $y = \frac{1}{2}f(x)$ необходимо ординаты всех точек графика $y = f(x)$ уменьшить в 2 раза, оставив их абсциссы без изменений. Это приведет к вертикальному сжатию исходного графика к оси OX в 2 раза.

2) $y = -f(x)$

Это частный случай преобразования $y = k \cdot f(x)$, где коэффициент $k = -1$.

Умножение функции на $-1$ приводит к изменению знака всех ординат точек графика на противоположный, в то время как абсциссы остаются неизменными. Геометрически это соответствует симметричному отражению (зеркальному отображению) графика относительно оси абсцисс (оси OX).

Алгоритм построения:

1. Для каждой точки $(x_0, y_0)$ на графике $y = f(x)$ найти соответствующую точку $(x_0, -y_0)$ нового графика.
2. Построить новый график, который будет являться зеркальным отражением исходного графика относительно оси OX.
3. Части графика, которые были выше оси OX, окажутся ниже, и наоборот. Точки на оси OX останутся на месте.

Ответ: График функции $y = -f(x)$ получается путем симметричного отражения графика функции $y = f(x)$ относительно оси OX.

3) $y = -2f(x)$

В этом случае коэффициент преобразования $k = -2$. Данное преобразование можно рассматривать как комбинацию двух действий:

• Вертикальное растяжение от оси OX в 2 раза (так как $|k| = 2 > 1$).
• Симметричное отражение относительно оси OX (так как $k < 0$).

Алгоритм построения:

1. Выбрать на исходном графике $y = f(x)$ характерные точки с координатами $(x_0, y_0)$.
2. Для каждой точки вычислить новую ординату, умножив старую на $-2$. Новые координаты будут $(x_0, -2y_0)$.
3. Например, если на исходном графике была точка $(3, 4)$, то на новом графике ей будет соответствовать точка $(3, -2 \cdot 4) = (3, -8)$. Если была точка $(5, -1)$, то новая точка будет $(5, -2 \cdot (-1)) = (5, 2)$.
4. Отметить новые точки на координатной плоскости и соединить их линией, повторяющей форму исходного графика.
5. Точки пересечения с осью OX останутся неподвижными.

Ответ: Для построения графика функции $y = -2f(x)$ необходимо ординаты всех точек графика $y = f(x)$ умножить на $-2$. Геометрически это соответствует растяжению исходного графика от оси OX в 2 раза с последующим симметричным отражением относительно оси OX.