Страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

295. На рисунке 39 изображён график функции $y = g(x)$. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{3}g(x);$

2) $y = -\frac{1}{2}g(x).$

Рис. 38

Рис. 39

1) $y = \frac{1}{3}g(x)$

Чтобы построить график функции $y = \frac{1}{3}g(x)$, необходимо выполнить преобразование графика функции $y = g(x)$, показанного на рисунке 39. Данное преобразование представляет собой вертикальное сжатие графика к оси абсцисс (оси $x$) с коэффициентом $\frac{1}{3}$.

Это означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходном графике, соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, \frac{1}{3}y_0)$. Абсциссы всех точек графика остаются неизменными, а их ординаты умножаются на $\frac{1}{3}$.

Рассмотрим преобразование ключевых точек исходного графика:

• Точка локального максимума $(-2, 3)$ переходит в точку $(-2, \frac{1}{3} \cdot 3) = (-2, 1)$.
• Точка локального минимума $(0, -3)$ переходит в точку $(0, \frac{1}{3} \cdot (-3)) = (0, -1)$.
• Точка локального максимума $(2, 3)$ переходит в точку $(2, \frac{1}{3} \cdot 3) = (2, 1)$.
• Точки пересечения с осью $x$ (нули функции), такие как $(-3, 0)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$, остаются на своих местах, так как их ордината равна нулю, и $\frac{1}{3} \cdot 0 = 0$.

Таким образом, новый график будет иметь ту же форму, что и исходный, но будет "сплюснут" по вертикали в 3 раза.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{3}g(x)$ получается из графика $y = g(x)$ путем сжатия вдоль оси $y$ в 3 раза. Точки пересечения с осью $x$ остаются прежними. Локальные максимумы, равные 3, становятся равными 1, а локальный минимум, равный -3, становится равным -1.

2) $y = -\frac{1}{2}g(x)$

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}g(x)$ необходимо выполнить два последовательных преобразования над графиком $y = g(x)$:

1. Вертикальное сжатие к оси $x$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$.
2. Симметричное отражение относительно оси $x$.

Для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходном графике, соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, -\frac{1}{2}y_0)$. Абсциссы точек остаются без изменений, а их ординаты умножаются на $-\frac{1}{2}$.

Рассмотрим преобразование ключевых точек:

• Точка локального максимума $(-2, 3)$ переходит в точку $(-2, -\frac{1}{2} \cdot 3) = (-2, -1.5)$. Бывший максимум становится минимумом.
• Точка локального минимума $(0, -3)$ переходит в точку $(0, -\frac{1}{2} \cdot (-3)) = (0, 1.5)$. Бывший минимум становится максимумом.
• Точка локального максимума $(2, 3)$ переходит в точку $(2, -\frac{1}{2} \cdot 3) = (2, -1.5)$. Бывший максимум становится минимумом.
• Точки пересечения с осью $x$ остаются на своих местах, так как их ордината равна нулю, и $-\frac{1}{2} \cdot 0 = 0$.

Новый график будет сжат по вертикали в 2 раза и "перевернут" относительно оси $x$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}g(x)$ получается из графика $y = g(x)$ путем сжатия вдоль оси $y$ в 2 раза и последующего симметричного отражения относительно оси $x$. Точки пересечения с осью $x$ не изменяются. Локальные максимумы исходного графика становятся локальными минимумами со значением $-1.5$, а локальный минимум становится локальным максимумом со значением $1.5$.

296. Постройте график функции $y = x^2$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = 3x^2$;

2) $y = -\frac{1}{4}x^2$.

Для решения задачи сначала построим график базовой функции $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Для более точного построения найдем значения функции для нескольких значений аргумента $x$:

• при $x = 0$, $y = 0^2 = 0$; точка $(0, 0)$
• при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$; точка $(1, 1)$
• при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$; точка $(-1, 1)$
• при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$; точка $(2, 4)$
• при $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$; точка $(-2, 4)$

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, получим график параболы $y = x^2$. Далее, используя этот график, построим графики заданных функций.

1) $y = 3x^2$

График функции вида $y = k \cdot f(x)$ при $k > 1$ получается из графика $f(x)$ путем его растяжения вдоль оси ординат (OY) в $k$ раз. В нашем случае $f(x) = x^2$ и $k=3$.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = 3x^2$, нужно ординаты (координаты $y$) всех точек графика $y = x^2$ умножить на 3. Абсциссы (координаты $x$) при этом не меняются.

Возьмем ранее найденные точки для $y = x^2$ и преобразуем их:

• Точка $(0, 0)$ останется на месте: $(0, 3 \cdot 0) \rightarrow (0, 0)$.
• Точка $(1, 1)$ перейдет в точку $(1, 3 \cdot 1) \rightarrow (1, 3)$.
• Точка $(-1, 1)$ перейдет в точку $(-1, 3 \cdot 1) \rightarrow (-1, 3)$.
• Точка $(2, 4)$ перейдет в точку $(2, 3 \cdot 4) \rightarrow (2, 12)$.
• Точка $(-2, 4)$ перейдет в точку $(-2, 3 \cdot 4) \rightarrow (-2, 12)$.

Соединив новые точки, получим параболу $y = 3x^2$. Она будет более "узкой" (прижатой к оси OY), чем исходная парабола $y = x^2$. Ветви по-прежнему направлены вверх, вершина находится в точке $(0, 0)$.

Ответ: График функции $y = 3x^2$ получается из графика $y = x^2$ путем его растяжения от оси OX вдоль оси OY в 3 раза.

2) $y = -\frac{1}{4}x^2$

Построение графика функции $y = -\frac{1}{4}x^2$ из графика $y = x^2$ включает два преобразования. График функции вида $y = k \cdot f(x)$ при $k < 0$ получается из графика $f(x)$ путем растяжения/сжатия и отражения.

1. Коэффициент $\frac{1}{4}$ (по модулю $|k| < 1$) означает, что график нужно сжать вдоль оси OY в $\frac{1}{1/4} = 4$ раза.
2. Знак "минус" перед коэффициентом означает, что график нужно симметрично отразить относительно оси абсцисс (OX).

Таким образом, чтобы построить график $y = -\frac{1}{4}x^2$, нужно ординаты всех точек графика $y = x^2$ умножить на $-\frac{1}{4}$.

Преобразуем ключевые точки:

• Точка $(0, 0)$ останется на месте: $(0, -\frac{1}{4} \cdot 0) \rightarrow (0, 0)$.
• Точка $(1, 1)$ перейдет в точку $(1, -\frac{1}{4} \cdot 1) \rightarrow (1, -0.25)$.
• Точка $(-1, 1)$ перейдет в точку $(-1, -\frac{1}{4} \cdot 1) \rightarrow (-1, -0.25)$.
• Точка $(2, 4)$ перейдет в точку $(2, -\frac{1}{4} \cdot 4) \rightarrow (2, -1)$.
• Точка $(-2, 4)$ перейдет в точку $(-2, -\frac{1}{4} \cdot 4) \rightarrow (-2, -1)$.

Соединив эти точки плавной линией, получим параболу $y = -\frac{1}{4}x^2$. Ее вершина находится в точке $(0, 0)$, но ветви направлены вниз. Парабола будет более "широкой" (отжатой от оси OY), чем исходная.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{4}x^2$ получается из графика $y = x^2$ путем его сжатия к оси OX в 4 раза и последующего симметричного отражения относительно оси OX.

297. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = 4\sqrt{x}$;

2) $y = -\sqrt{x}$.

Для выполнения задания сначала построим график базовой функции $y=\sqrt{x}$.

Область определения этой функции — все неотрицательные числа, то есть $x \ge 0$. Область значений — также все неотрицательные числа, $y \ge 0$.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких удобных точек, выбирая для $x$ полные квадраты:

При $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$. Точка (0; 0).
При $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$. Точка (1; 1).
При $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$. Точка (4; 2).
При $x=9$, $y=\sqrt{9}=3$. Точка (9; 3).

Соединив эти точки плавной линией, мы получим график функции $y=\sqrt{x}$. Это ветвь параболы, которая начинается в точке (0; 0) и проходит через первый координатный квадрант.

Теперь, используя этот базовый график, построим графики заданных функций с помощью геометрических преобразований.

1) $y=4\sqrt{x}$

График функции $y=k \cdot f(x)$ получается из графика $f(x)$ растяжением вдоль оси ординат (OY) в $k$ раз, если $k>1$. В нашем случае $f(x)=\sqrt{x}$ и $k=4$. Следовательно, чтобы построить график функции $y=4\sqrt{x}$, нужно растянуть график $y=\sqrt{x}$ вдоль оси OY в 4 раза. Это значит, что абсциссы ($x$) всех точек остаются прежними, а ординаты ($y$) умножаются на 4.

Преобразуем наши ключевые точки:

Точка (0; 0) переходит в точку (0; $4 \cdot 0$) = (0; 0).
Точка (1; 1) переходит в точку (1; $4 \cdot 1$) = (1; 4).
Точка (4; 2) переходит в точку (4; $4 \cdot 2$) = (4; 8).
Точка (9; 3) переходит в точку (9; $4 \cdot 3$) = (9; 12).

Соединив новые точки, получаем искомый график. Он также начинается в начале координат, но поднимается вверх гораздо круче, чем график $y=\sqrt{x}$.

Ответ: График функции $y=4\sqrt{x}$ получается из графика функции $y=\sqrt{x}$ путем его растяжения вдоль оси OY (или от оси OX) в 4 раза.

2) $y=-\sqrt{x}$

График функции $y=-f(x)$ получается из графика $f(x)$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс (OX). В нашем случае $f(x)=\sqrt{x}$. Чтобы построить график функции $y=-\sqrt{x}$, нужно отразить график $y=\sqrt{x}$ относительно оси OX. Это значит, что абсциссы ($x$) всех точек остаются прежними, а ординаты ($y$) меняют свой знак на противоположный.

Преобразуем наши ключевые точки:

Точка (0; 0) переходит в точку (0; $-0$) = (0; 0).
Точка (1; 1) переходит в точку (1; -1).
Точка (4; 2) переходит в точку (4; -2).
Точка (9; 3) переходит в точку (9; -3).

Искомый график начинается в начале координат и проходит через четвертый координатный квадрант, являясь зеркальным отражением графика $y=\sqrt{x}$ относительно оси абсцисс.

Ответ: График функции $y=-\sqrt{x}$ получается из графика функции $y=\sqrt{x}$ путем его симметричного отражения относительно оси OX.

298. Докажите, что функция $y = ax^2$ при $a > 0$ убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Для доказательства утверждения необходимо рассмотреть поведение функции на каждом из указанных промежутков отдельно, используя определение возрастающей и убывающей функции.

Доказательство того, что функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$
Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.
Возьмём две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 0]$ так, чтобы $x_1 < x_2$. Это означает, что $x_1 < x_2 \le 0$.
Рассмотрим разность значений функции $y=ax^2$ в этих точках:
$y(x_1) - y(x_2) = ax_1^2 - ax_2^2$
Используя формулу разности квадратов, получим:
$a(x_1^2 - x_2^2) = a(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$
Теперь определим знак каждого множителя в полученном выражении:
1. По условию задачи $a > 0$ (положительное число).
2. Так как мы выбрали $x_1 < x_2$, то разность $x_1 - x_2 < 0$ (отрицательное число).
3. Так как $x_1 < x_2 \le 0$, то оба числа $x_1$ и $x_2$ являются неположительными, причём $x_1$ строго отрицательное. Следовательно, их сумма $x_1 + x_2 < 0$ (отрицательное число).
Произведение трёх множителей, знаки которых $(+)$, $(-)$ и $(-)$, будет положительным:
$a(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) > 0$
Следовательно, $y(x_1) - y(x_2) > 0$, что равносильно $y(x_1) > y(x_2)$.
Поскольку для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $(-\infty; 0]$ выполняется $y(x_1) > y(x_2)$, функция $y = ax^2$ при $a > 0$ убывает на этом промежутке.
Ответ: Доказано, что функция $y=ax^2$ при $a>0$ убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.

Доказательство того, что функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$
Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) < y(x_2)$.
Возьмём две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[0; +\infty)$ так, чтобы $x_1 < x_2$. Это означает, что $0 \le x_1 < x_2$.
Рассмотрим разность значений функции $y=ax^2$ в этих точках:
$y(x_1) - y(x_2) = ax_1^2 - ax_2^2 = a(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$
Определим знак каждого множителя:
1. По условию $a > 0$ (положительное число).
2. Так как мы выбрали $x_1 < x_2$, то разность $x_1 - x_2 < 0$ (отрицательное число).
3. Так как $0 \le x_1 < x_2$, то оба числа $x_1$ и $x_2$ являются неотрицательными, причём $x_2$ строго положительное. Следовательно, их сумма $x_1 + x_2 > 0$ (положительное число).
Произведение трёх множителей, знаки которых $(+)$, $(-)$ и $(+)$, будет отрицательным:
$a(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) < 0$
Следовательно, $y(x_1) - y(x_2) < 0$, что равносильно $y(x_1) < y(x_2)$.
Поскольку для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $[0; +\infty)$ выполняется $y(x_1) < y(x_2)$, функция $y = ax^2$ при $a > 0$ возрастает на этом промежутке.
Ответ: Доказано, что функция $y=ax^2$ при $a>0$ возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

299. Докажите, что функция $y = ax^2$ при $a < 0$ возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

Для доказательства используем определение монотонности функции. Функция $f(x)$ называется возрастающей на промежутке, если для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Функция называется убывающей, если при $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Разобьем доказательство на две части для каждого из указанных промежутков.

Доказательство возрастания на промежутке $(-\infty; 0]$

Рассмотрим функцию $y = f(x) = ax^2$ при условии $a < 0$. Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 0]$ так, чтобы выполнялось условие $x_1 < x_2$. Это означает, что $x_1 < x_2 \le 0$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках и преобразуем ее, используя формулу разности квадратов:

$f(x_2) - f(x_1) = ax_2^2 - ax_1^2 = a(x_2^2 - x_1^2) = a(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$

Теперь проанализируем знаки множителей в полученном выражении. Во-первых, $a < 0$ по условию задачи. Во-вторых, так как мы выбрали $x_1 < x_2$, то разность $(x_2 - x_1)$ будет положительной. В-третьих, поскольку $x_1 < x_2 \le 0$, оба числа являются неположительными, и как минимум $x_1$ строго отрицательное, значит, их сумма $(x_2 + x_1)$ будет отрицательной.

Таким образом, мы перемножаем три числа: одно отрицательное ($a$), одно положительное ($(x_2 - x_1)$) и еще одно отрицательное ($(x_2 + x_1)$). Произведение будет положительным:

$f(x_2) - f(x_1) > 0$, что эквивалентно $f(x_2) > f(x_1)$.

Мы показали, что для любых $x_1, x_2$ из промежутка $(-\infty; 0]$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Это по определению означает, что функция возрастает на данном промежутке.

Ответ: Доказано, что функция $y=ax^2$ при $a < 0$ возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$.

Доказательство убывания на промежутке $[0; +\infty)$

Теперь возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[0; +\infty)$ так, чтобы выполнялось условие $x_1 < x_2$. Это означает, что $0 \le x_1 < x_2$.

Рассмотрим ту же разность значений функции: $f(x_2) - f(x_1) = a(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$.

Проанализируем знаки множителей в этом случае. Множитель $a < 0$ по условию. Разность $(x_2 - x_1) > 0$, так как $x_1 < x_2$. Сумма $(x_2 + x_1) > 0$, поскольку $0 \le x_1 < x_2$, оба числа являются неотрицательными, и как минимум $x_2$ строго положительное, значит, их сумма также положительна.

В этом случае мы перемножаем одно отрицательное число ($a$) и два положительных ($(x_2 - x_1)$ и $(x_2 + x_1)$). Произведение будет отрицательным:

$f(x_2) - f(x_1) < 0$, что эквивалентно $f(x_2) < f(x_1)$.

Мы показали, что для любых $x_1, x_2$ из промежутка $[0; +\infty)$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Это по определению означает, что функция убывает на данном промежутке.

Ответ: Доказано, что функция $y=ax^2$ при $a < 0$ убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

300. Постройте график функции:

$y = \begin{cases} x^2, \text{ если } x \le -2, \\ -2x, \text{ если } -2 < x < 2, \\ -x^2, \text{ если } x \ge 2. \end{cases}$

Используя построенный график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

Постройте график функции

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика необходимо последовательно построить график каждой из трех частей на соответствующем промежутке.

1. На промежутке $x \le -2$ строим график функции $y = x^2$.
Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем значения в нескольких точках:

• Граничная точка: при $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$ закрашенная, так как неравенство нестрогое ($x \le -2$).
• Контрольная точка: при $x = -3$, $y = (-3)^2 = 9$.

2. На промежутке $-2 < x < 2$ строим график функции $y = -2x$.
Это часть прямой линии. Для ее построения найдем координаты граничных точек интервала:

• При $x = -2$, $y = -2(-2) = 4$. Точка $(-2, 4)$ выколотая, так как неравенство строгое ($x > -2$).
• При $x = 2$, $y = -2(2) = -4$. Точка $(2, -4)$ также выколотая ($x < 2$).

Соединяем эти точки отрезком.

3. На промежутке $x \ge 2$ строим график функции $y = -x^2$.
Это часть параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем значения в точках:

• Граничная точка: при $x = 2$, $y = -(2)^2 = -4$. Точка $(2, -4)$ закрашенная ($x \ge 2$).
• Контрольная точка: при $x = 3$, $y = -(3)^2 = -9$.

Объединим все три части на одной координатной плоскости. В точке $x = -2$ выколотая точка от прямой $(-2, 4)$ "закрывается" закрашенной точкой от параболы. Аналогично, в точке $x = 2$ выколотая точка от прямой $(2, -4)$ "закрывается" закрашенной точкой от второй параболы. Таким образом, функция является непрерывной на всей числовой оси.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, которая состоит из трех частей: левой ветви параболы $y=x^2$ на промежутке $(-\infty, -2]$, отрезка прямой $y=-2x$ между точками $(-2, 4)$ и $(2, -4)$ на интервале $(-2, 2)$, и части параболы $y=-x^2$ на промежутке $[2, +\infty)$.

Используя построенный график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции

Для нахождения промежутков возрастания и убывания проанализируем поведение построенного графика при движении по оси $x$ слева направо.

- На промежутке $(-\infty, -2]$ график функции $y=x^2$ идет вниз. Следовательно, функция на этом промежутке убывает.

- На промежутке $(-2, 2)$ график функции $y=-2x$ представляет собой прямую с отрицательным угловым коэффициентом $k=-2$, которая также идет вниз. Следовательно, функция на этом промежутке убывает.

- На промежутке $[2, +\infty)$ график функции $y=-x^2$ идет вниз. Следовательно, функция и на этом промежутке убывает.

Так как функция убывает на каждом из трех участков и является непрерывной, она убывает на всей своей области определения. Промежутков, где график шел бы вверх, нет.

Ответ: Промежутки возрастания: нет. Промежутки убывания: $(-\infty; +\infty)$.