Номер 299, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

299. Докажите, что функция $y = ax^2$ при $a < 0$ возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

Для доказательства используем определение монотонности функции. Функция $f(x)$ называется возрастающей на промежутке, если для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Функция называется убывающей, если при $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Разобьем доказательство на две части для каждого из указанных промежутков.

Доказательство возрастания на промежутке $(-\infty; 0]$

Рассмотрим функцию $y = f(x) = ax^2$ при условии $a < 0$. Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 0]$ так, чтобы выполнялось условие $x_1 < x_2$. Это означает, что $x_1 < x_2 \le 0$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках и преобразуем ее, используя формулу разности квадратов:

$f(x_2) - f(x_1) = ax_2^2 - ax_1^2 = a(x_2^2 - x_1^2) = a(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$

Теперь проанализируем знаки множителей в полученном выражении. Во-первых, $a < 0$ по условию задачи. Во-вторых, так как мы выбрали $x_1 < x_2$, то разность $(x_2 - x_1)$ будет положительной. В-третьих, поскольку $x_1 < x_2 \le 0$, оба числа являются неположительными, и как минимум $x_1$ строго отрицательное, значит, их сумма $(x_2 + x_1)$ будет отрицательной.

Таким образом, мы перемножаем три числа: одно отрицательное ($a$), одно положительное ($(x_2 - x_1)$) и еще одно отрицательное ($(x_2 + x_1)$). Произведение будет положительным:

$f(x_2) - f(x_1) > 0$, что эквивалентно $f(x_2) > f(x_1)$.

Мы показали, что для любых $x_1, x_2$ из промежутка $(-\infty; 0]$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Это по определению означает, что функция возрастает на данном промежутке.

Ответ: Доказано, что функция $y=ax^2$ при $a < 0$ возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$.

Доказательство убывания на промежутке $[0; +\infty)$

Теперь возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[0; +\infty)$ так, чтобы выполнялось условие $x_1 < x_2$. Это означает, что $0 \le x_1 < x_2$.

Рассмотрим ту же разность значений функции: $f(x_2) - f(x_1) = a(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$.

Проанализируем знаки множителей в этом случае. Множитель $a < 0$ по условию. Разность $(x_2 - x_1) > 0$, так как $x_1 < x_2$. Сумма $(x_2 + x_1) > 0$, поскольку $0 \le x_1 < x_2$, оба числа являются неотрицательными, и как минимум $x_2$ строго положительное, значит, их сумма также положительна.

В этом случае мы перемножаем одно отрицательное число ($a$) и два положительных ($(x_2 - x_1)$ и $(x_2 + x_1)$). Произведение будет отрицательным:

$f(x_2) - f(x_1) < 0$, что эквивалентно $f(x_2) < f(x_1)$.

Мы показали, что для любых $x_1, x_2$ из промежутка $[0; +\infty)$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Это по определению означает, что функция убывает на данном промежутке.

Ответ: Доказано, что функция $y=ax^2$ при $a < 0$ убывает на промежутке $[0; +\infty)$.