Номер 303, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

303. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(a - b)^2}$, если $b \ge a$;

2) $\sqrt{c^2 + 6c + 9}$, если $c \ge -3$;

3) $\frac{\sqrt{(m - 5)^4}}{m^2 - 10m + 25}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{(a-b)^2}$ воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{x^2} = |x|$.

Применяя это свойство к нашему выражению, получаем: $\sqrt{(a-b)^2} = |a-b|$.

Теперь необходимо раскрыть модуль, используя заданное условие $b \ge a$. Это неравенство можно переписать в виде $a - b \le 0$.

По определению модуля, если подмодульное выражение является отрицательным или равно нулю (неположительным), то его модуль равен противоположному выражению. То есть, $|a-b| = -(a-b)$, так как $a-b \le 0$.

Раскрываем скобки: $-(a-b) = -a + b = b - a$.

Ответ: $b - a$.

2) Рассмотрим подкоренное выражение $c^2 + 6c + 9$. Заметим, что это выражение является полным квадратом.

Используем формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае $x=c$ и $y=3$, поэтому $c^2 + 6c + 9 = c^2 + 2 \cdot c \cdot 3 + 3^2 = (c+3)^2$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде $\sqrt{(c+3)^2}$.

Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $\sqrt{(c+3)^2} = |c+3|$.

По условию задачи $c \ge -3$. Перенесем $-3$ в левую часть неравенства, чтобы оценить знак подмодульного выражения: $c+3 \ge 0$.

Так как выражение $c+3$ неотрицательно, то по определению модуля $|c+3| = c+3$.

Ответ: $c+3$.

3) Упростим выражение $\frac{\sqrt{(m-5)^4}}{m^2 - 10m + 25}$. Для этого преобразуем числитель и знаменатель.

Преобразуем числитель: $\sqrt{(m-5)^4}$. Мы можем записать это как $\sqrt{((m-5)^2)^2}$. По свойству корня $\sqrt{x^2}=|x|$, получаем $|(m-5)^2|$. Выражение $(m-5)^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю) при любом значении $m$. Следовательно, его модуль равен самому выражению: $|(m-5)^2| = (m-5)^2$.

Преобразуем знаменатель: $m^2 - 10m + 25$. Это формула квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x=m, y=5$, поэтому $m^2 - 10m + 25 = (m-5)^2$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в дробь: $\frac{(m-5)^2}{(m-5)^2}$.

Данное выражение определено, если знаменатель не равен нулю, то есть $(m-5)^2 \ne 0$, откуда $m \ne 5$. При этом условии мы можем сократить числитель и знаменатель.

$\frac{(m-5)^2}{(m-5)^2} = 1$.

Ответ: $1$.