Номер 304, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

304. Для перевозки 45 т груза планировали взять автомобиль некоторой грузоподъёмности. Однако из-за его неисправности пришлось взять другой автомобиль, грузоподъёмность которого на 2 т меньше, чем первого. Из-за этого потребовалось сделать на 6 рейсов больше, чем было запланировано. Найдите грузоподъёмность (полную загрузку) автомобиля, который перевёз груз.

Пусть $x$ тонн — грузоподъёмность автомобиля, который планировали взять для перевозки груза. В этом случае для перевозки 45 тонн груза потребовалось бы сделать $\frac{45}{x}$ рейсов.

Однако из-за неисправности пришлось взять другой автомобиль, грузоподъёмность которого на 2 тонны меньше, то есть $(x-2)$ тонны. Этот автомобиль для перевозки всего груза сделал $\frac{45}{x-2}$ рейсов.

По условию задачи, второму автомобилю потребовалось сделать на 6 рейсов больше, чем планировалось для первого. На основе этих данных можно составить уравнение:

$\frac{45}{x-2} - \frac{45}{x} = 6$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-2)$:

$\frac{45x - 45(x-2)}{x(x-2)} = 6$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{45x - 45x + 90}{x^2 - 2x} = 6$

$\frac{90}{x^2 - 2x} = 6$

Это уравнение является пропорцией. При условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 2$, можно записать:

$6(x^2 - 2x) = 90$

Разделим обе части уравнения на 6:

$x^2 - 2x = 15$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 2, а их произведение равно -15. Подбором находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.

Поскольку грузоподъёмность автомобиля ($x$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -3$ не является решением задачи. Следовательно, грузоподъёмность первого, планируемого, автомобиля составляет $x = 5$ тонн.

В вопросе требуется найти грузоподъёмность автомобиля, который перевёз груз. Это грузоподъёмность второго автомобиля, которая равна $x - 2$.

$5 - 2 = 3$ (тонны).

Ответ: 3 тонны.