Номер 301, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

301. Постройте график функции:

$y = \begin{cases} -2, \text{ если } x < -1, \\ -2x^2, \text{ если } -1 \leq x \leq 0, \\ 2x^2, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

Используя построенный график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика необходимо построить график каждой из трех функций на соответствующем промежутке.

Построение графика функции

1. На промежутке $x < -1$ функция имеет вид $y = -2$. Графиком является горизонтальный луч, выходящий из точки $(-1, -2)$ и идущий влево параллельно оси Ox. Точка $(-1, -2)$ не принадлежит этому лучу (она будет "выколотой"), так как неравенство строгое ($x < -1$).

2. На промежутке $-1 \le x \le 0$ функция имеет вид $y = -2x^2$. Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Найдем значения функции на концах этого промежутка:
- при $x = -1$, $y = -2 \cdot (-1)^2 = -2 \cdot 1 = -2$. Получаем точку $(-1, -2)$.
- при $x = 0$, $y = -2 \cdot 0^2 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$.
Так как неравенство $-1 \le x \le 0$ нестрогое, обе точки $(-1, -2)$ и $(0, 0)$ принадлежат графику. Точка $(-1, -2)$ "закрашивает" выколотую точку с предыдущего шага.

3. На промежутке $x > 0$ функция имеет вид $y = 2x^2$. Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Этот участок графика начинается от точки $(0, 0)$ (которая уже включена в график на предыдущем шаге) и идет вправо и вверх. Для более точного построения найдем еще одну точку, например:
- при $x = 1$, $y = 2 \cdot 1^2 = 2$. Получаем точку $(1, 2)$.

Соединив все три части, мы получаем итоговый график функции. Он состоит из горизонтального луча, переходящего в участок параболы с ветвями вниз, который в свою очередь в точке $(0, 0)$ переходит в участок параболы с ветвями вверх.

Используя построенный график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции

Проанализируем поведение функции, двигаясь по графику слева направо (в направлении возрастания $x$).

- На промежутке $(-\infty, -1)$ график представляет собой горизонтальную линию на уровне $y=-2$. Значение функции не изменяется, следовательно, на этом промежутке функция является постоянной.

- На промежутке $[-1, 0]$ график идет вверх от точки $(-1, -2)$ до точки $(0, 0)$. Это означает, что при увеличении $x$ от $-1$ до $0$, значение $y$ увеличивается от $-2$ до $0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

- На промежутке $(0, \infty)$ график также идет вверх от точки $(0, 0)$. При увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается. Следовательно, на этом промежутке функция также возрастает.

Объединяя два промежутка возрастания, получаем, что функция возрастает на всем промежутке от $x=-1$ до $+\infty$.

Промежутков, где график шел бы вниз (при увеличении $x$ значение $y$ уменьшалось бы), на графике нет. Следовательно, у функции нет промежутков убывания.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1, \infty)$; промежутков убывания нет.