Номер 297, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

297. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = 4\sqrt{x}$;

2) $y = -\sqrt{x}$.

Для выполнения задания сначала построим график базовой функции $y=\sqrt{x}$.

Область определения этой функции — все неотрицательные числа, то есть $x \ge 0$. Область значений — также все неотрицательные числа, $y \ge 0$.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких удобных точек, выбирая для $x$ полные квадраты:

При $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$. Точка (0; 0).
При $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$. Точка (1; 1).
При $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$. Точка (4; 2).
При $x=9$, $y=\sqrt{9}=3$. Точка (9; 3).

Соединив эти точки плавной линией, мы получим график функции $y=\sqrt{x}$. Это ветвь параболы, которая начинается в точке (0; 0) и проходит через первый координатный квадрант.

Теперь, используя этот базовый график, построим графики заданных функций с помощью геометрических преобразований.

1) $y=4\sqrt{x}$

График функции $y=k \cdot f(x)$ получается из графика $f(x)$ растяжением вдоль оси ординат (OY) в $k$ раз, если $k>1$. В нашем случае $f(x)=\sqrt{x}$ и $k=4$. Следовательно, чтобы построить график функции $y=4\sqrt{x}$, нужно растянуть график $y=\sqrt{x}$ вдоль оси OY в 4 раза. Это значит, что абсциссы ($x$) всех точек остаются прежними, а ординаты ($y$) умножаются на 4.

Преобразуем наши ключевые точки:

Точка (0; 0) переходит в точку (0; $4 \cdot 0$) = (0; 0).
Точка (1; 1) переходит в точку (1; $4 \cdot 1$) = (1; 4).
Точка (4; 2) переходит в точку (4; $4 \cdot 2$) = (4; 8).
Точка (9; 3) переходит в точку (9; $4 \cdot 3$) = (9; 12).

Соединив новые точки, получаем искомый график. Он также начинается в начале координат, но поднимается вверх гораздо круче, чем график $y=\sqrt{x}$.

Ответ: График функции $y=4\sqrt{x}$ получается из графика функции $y=\sqrt{x}$ путем его растяжения вдоль оси OY (или от оси OX) в 4 раза.

2) $y=-\sqrt{x}$

График функции $y=-f(x)$ получается из графика $f(x)$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс (OX). В нашем случае $f(x)=\sqrt{x}$. Чтобы построить график функции $y=-\sqrt{x}$, нужно отразить график $y=\sqrt{x}$ относительно оси OX. Это значит, что абсциссы ($x$) всех точек остаются прежними, а ординаты ($y$) меняют свой знак на противоположный.

Преобразуем наши ключевые точки:

Точка (0; 0) переходит в точку (0; $-0$) = (0; 0).
Точка (1; 1) переходит в точку (1; -1).
Точка (4; 2) переходит в точку (4; -2).
Точка (9; 3) переходит в точку (9; -3).

Искомый график начинается в начале координат и проходит через четвертый координатный квадрант, являясь зеркальным отражением графика $y=\sqrt{x}$ относительно оси абсцисс.

Ответ: График функции $y=-\sqrt{x}$ получается из графика функции $y=\sqrt{x}$ путем его симметричного отражения относительно оси OX.