Номер 306, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

306. Для покраски одной грани кубика требуется 10 с. За какое наименьшее время 6 человек могут покрасить 101 кубик? (Два человека не могут одновременно красить один кубик.)

Для решения этой задачи необходимо найти наиболее эффективный способ распределения работы между 6 малярами, чтобы минимизировать общее время покраски 101 кубика.

1. Расчет времени на покраску одного кубика

Каждый кубик имеет 6 граней. По условию, на покраску одной грани уходит 10 секунд. Следовательно, время, которое один человек тратит на полную покраску одного кубика, составляет: $T_{1\ кубик} = 6 \text{ граней} \times 10 \frac{\text{с}}{\text{грань}} = 60 \text{ с}$

2. Определение общей трудоемкости и теоретического минимума времени

Общий объем работы – это покраска 101 кубика. В единицах человеко-секунд это составляет: $W_{общ} = 101 \text{ кубик} \times 60 \frac{\text{с}}{\text{кубик}} = 6060 \text{ человеко-секунд}$

Если бы работу можно было разделить идеально равномерно без каких-либо простоев, то минимальное время с 6 работниками составило бы: $T_{мин\_теор} = \frac{W_{общ}}{6 \text{ человек}} = \frac{6060 \text{ с}}{6} = 1010 \text{ с}$

Однако этот результат предполагает, что все 6 человек могут быть непрерывно заняты работой на протяжении всего времени, что не всегда возможно из-за неделимости задач (кубиков).

3. Стратегия распределения работы

Поскольку два человека не могут красить один кубик одновременно, но могут параллельно красить разные кубики, наиболее эффективной стратегией будет распределение всех кубиков между работниками. Чтобы общее время было минимальным, нужно, чтобы работник, который закончит последним, потратил как можно меньше времени. Это достигается путем максимально равномерного распределения кубиков.

Разделим 101 кубик на 6 человек: $101 \div 6 = 16 \text{ с остатком } 5$

Это означает, что для наиболее равномерного распределения, 5 человек должны покрасить по $16 + 1 = 17$ кубиков, а один человек покрасит оставшиеся 16 кубиков.

Проверка: $5 \times 17 + 1 \times 16 = 85 + 16 = 101$ кубик.

4. Расчет наименьшего времени

Теперь рассчитаем время, которое потребуется каждой группе работников:

• Время для 5 работников, красящих по 17 кубиков: $T_1 = 17 \text{ кубиков} \times 60 \frac{\text{с}}{\text{кубик}} = 1020 \text{ с}$
• Время для 1 работника, красящего 16 кубиков: $T_2 = 16 \text{ кубиков} \times 60 \frac{\text{с}}{\text{кубик}} = 960 \text{ с}$

Вся работа будет завершена, когда закончит последний работник. Максимальное время среди всех работников составляет 1020 секунд. Таким образом, это и есть наименьшее возможное время для выполнения всей работы при данной стратегии.

Это время (1020 с) больше теоретического минимума (1010 с), так как невозможно загрузить всех работников работой на 100% времени из-за того, что количество кубиков (101) не делится нацело на количество работников (6). Один работник заканчивает раньше и простаивает 60 секунд ($1020 - 960 = 60$).

Ответ: 1020 секунд.