Номер 5, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. Какая фигура является графиком функции $y = k(x+a)^2 + b$, где $k \neq 0$?

Функция, заданная уравнением $y = k(x + a)^2 + b$ при условии, что $k \neq 0$, является квадратичной функцией.

Чтобы в этом убедиться, можно раскрыть скобки в уравнении:
$y = k(x^2 + 2ax + a^2) + b$
$y = kx^2 + 2akx + ka^2 + b$

Полученное уравнение имеет вид $y = Ax^2 + Bx + C$, где $A = k$, $B = 2ak$ и $C = ka^2 + b$. Так как по условию коэффициент $k \neq 0$, то и старший коэффициент $A$ не равен нулю, что и определяет данную функцию как квадратичную.

Графиком любой квадратичной функции является геометрическая фигура, которая называется парабола.

Исходная форма записи $y = k(x + a)^2 + b$ называется вершинной, поскольку она наглядно показывает, как парабола расположена на координатной плоскости. Она получается из графика простейшей параболы $y = kx^2$ с помощью геометрических преобразований:
1. График функции $y = kx^2$ — это парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Коэффициент $k$ определяет "ширину" параболы и направление ее ветвей. Если $k > 0$, ветви направлены вверх, если $k < 0$ — вниз.
2. Прибавление константы $a$ к аргументу $x$ (т.е. $(x+a)$) сдвигает график вдоль оси абсцисс на $|a|$ единиц. Если $a > 0$, сдвиг происходит влево, если $a < 0$ — вправо. Вершина параболы перемещается в точку $(-a, 0)$.
3. Прибавление константы $b$ ко всей функции сдвигает график вдоль оси ординат на $|b|$ единиц. Если $b > 0$, сдвиг происходит вверх, если $b < 0$ — вниз. Вершина параболы перемещается в точку $(-a, b)$.

Таким образом, все эти преобразования (растяжение/сжатие, отражение и сдвиги) не меняют сути фигуры, а лишь изменяют ее положение, ориентацию и "ширину". Фигура, которая является графиком функции $y = k(x + a)^2 + b$, — это всегда парабола.

Ответ: Парабола.