Номер 6, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. Каковы координаты вершины параболы $y = k(x + a)^2 + b$?

Уравнение параболы $y = k(x + a)^2 + b$ представлено в вершинной форме. Общий вид уравнения параболы в вершинной форме, также известной как канонический вид, записывается как $y = k(x - x_0)^2 + y_0$, где точка с координатами $(x_0, y_0)$ является вершиной параболы.

Чтобы найти координаты вершины для данного уравнения, мы можем сопоставить его с общей формой.

Данное уравнение: $y = k(x + a)^2 + b$.

Общая форма: $y = k(x - x_0)^2 + y_0$.

Перепишем данное уравнение, чтобы оно точно соответствовало структуре общей формы: $y = k(x - (-a))^2 + b$.

Теперь, сравнивая два уравнения, мы видим, что:

Абсцисса вершины $x_0$ соответствует $-a$.

Ордината вершины $y_0$ соответствует $b$.

Следовательно, координаты вершины параболы — $(-a, b)$.

Альтернативное объяснение:

Вершина параболы — это точка экстремума функции (минимума или максимума). Значение выражения в скобках в квадрате, $(x+a)^2$, всегда неотрицательно, т.е. $(x+a)^2 \ge 0$.

1. Если коэффициент $k > 0$, ветви параболы направлены вверх, и вершина является точкой минимума. Минимальное значение функции достигается, когда слагаемое $k(x+a)^2$ принимает наименьшее возможное значение. Это происходит, когда $(x+a)^2 = 0$, что равносильно $x+a = 0$, или $x = -a$. Подставив это значение $x$ в уравнение, найдем ординату вершины: $y = k(-a+a)^2 + b = k \cdot 0^2 + b = b$.

2. Если коэффициент $k < 0$, ветви параболы направлены вниз, и вершина является точкой максимума. Максимальное значение функции достигается, когда слагаемое $k(x+a)^2$ принимает наибольшее возможное значение (которое равно 0, так как $k<0$ и $(x+a)^2 \ge 0$). Это также происходит при $x = -a$. Ордината вершины при этом будет: $y = k(-a+a)^2 + b = k \cdot 0^2 + b = b$.

В обоих случаях координаты вершины параболы — это точка $(-a, b)$.

Ответ: $(-a, b)$