Номер 305, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

305. Какое наименьшее значение может принимать данное выражение и при каком значении переменной:

1) $(x - 6)^2 + 3;$

2) $(x + 4)^2 - 5;$

3) $x^2 + 2x - 6;$

4) $x^2 - 10x + 18?$

1) $(x - 6)^2 + 3$

Данное выражение состоит из двух слагаемых: $(x - 6)^2$ и $3$. Слагаемое $3$ является константой. Слагаемое $(x - 6)^2$ является квадратом выражения, а квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. То есть, $(x - 6)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

Следовательно, наименьшее значение слагаемого $(x - 6)^2$ равно 0. Это значение достигается, когда основание степени равно нулю:

$x - 6 = 0$

$x = 6$

При $x = 6$ всё выражение принимает своё наименьшее значение:

$(6 - 6)^2 + 3 = 0^2 + 3 = 3$

Ответ: наименьшее значение равно 3 при $x = 6$.

2) $(x + 4)^2 - 5$

Рассуждая аналогично предыдущему пункту, выражение $(x + 4)^2$ всегда больше или равно нулю. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при условии:

$x + 4 = 0$

$x = -4$

Подставим это значение $x$ в исходное выражение, чтобы найти его наименьшее значение:

$(-4 + 4)^2 - 5 = 0^2 - 5 = -5$

Ответ: наименьшее значение равно -5 при $x = -4$.

3) $x^2 + 2x - 6$

Это выражение является квадратичной функцией. Чтобы найти её наименьшее значение, преобразуем выражение, выделив полный квадрат. Для этого используем формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$x^2 + 2x - 6 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 - 6$

Мы добавили и вычли $1^2$ (то есть 1), чтобы можно было "свернуть" часть выражения в полный квадрат, не изменив при этом само выражение.

$(x^2 + 2x + 1) - 1 - 6 = (x + 1)^2 - 7$

Теперь выражение приведено к виду, аналогичному первым двум заданиям. Наименьшее значение $(x + 1)^2$ равно 0 и достигается при $x = -1$.

Наименьшее значение всего выражения: $0 - 7 = -7$.

Ответ: наименьшее значение равно -7 при $x = -1$.

4) $x^2 - 10x + 18$

Также выделим полный квадрат, используя на этот раз формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$x^2 - 10x + 18 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 18$

Мы добавили и вычли $5^2$ (то есть 25), чтобы выделить полный квадрат.

$(x^2 - 10x + 25) - 25 + 18 = (x - 5)^2 - 7$

Выражение $(x - 5)^2$ принимает наименьшее значение 0, когда $x - 5 = 0$, то есть при $x = 5$.

Наименьшее значение всего выражения: $0 - 7 = -7$.

Ответ: наименьшее значение равно -7 при $x = 5$.