Номер 5, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. Какую функцию называют возрастающей?

Функцию $y = f(x)$ называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Простыми словами, возрастающая функция — это такая функция, у которой большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Геометрически это означает, что график возрастающей функции при движении по нему слева направо постоянно "идет в гору".

Достаточное условие (признак) возрастания функции:
Если производная функции $f'(x)$ положительна на некотором интервале ($f'(x) > 0$), то функция $f(x)$ возрастает на этом интервале.

Примеры возрастающих функций:

• Линейная функция $y = kx + b$ при $k > 0$, например, $y = 3x - 2$.
• Степенная функция $y = x^3$ на всей области определения.
• Показательная функция $y = a^x$ при $a > 1$, например, $y = 2^x$ или $y = e^x$.
• Логарифмическая функция $y = \log_a x$ при $a > 1$, например, $y = \ln x$.

Важно отметить, что данное определение описывает строго возрастающую функцию. Существует также понятие неубывающей функции, для которой при $x_2 > x_1$ выполняется нестрогое неравенство $f(x_2) \ge f(x_1)$. В большинстве школьных и вузовских курсов под термином "возрастающая" подразумевается именно "строго возрастающая".

Ответ: Функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух точек из этого промежутка большему значению аргумента ($x$) соответствует большее значение функции ($y$ или $f(x)$). Формально: для любых $x_1$ и $x_2$ из данного промежутка, если $x_2 > x_1$, то $f(x_2) > f(x_1)$.