Номер 253, страница 61 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

253. Натуральное число $n$ имеет ровно 100 различных натуральных делителей (включая 1 и $n$). Найдите их произведение.

Пусть $d_1, d_2, \ldots, d_{100}$ — это все 100 различных натуральных делителей числа $n$, записанные в порядке возрастания. Таким образом, мы имеем последовательность: $1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_{99} < d_{100} = n$.

Нам необходимо найти произведение всех этих делителей, которое обозначим как $P$: $P = d_1 \cdot d_2 \cdot \ldots \cdot d_{100}$.

Для любого натурального числа $n$, если $d$ является его делителем, то число $n/d$ также является делителем $n$. Это свойство позволяет нам сгруппировать делители в пары.

Давайте составим пары из делителей, взяв первый с последним, второй с предпоследним и так далее.

• Первая пара: $d_1$ и $d_{100}$. Мы знаем, что $d_1 = 1$ и $d_{100} = n$. Их произведение: $d_1 \cdot d_{100} = 1 \cdot n = n$.
• Вторая пара: $d_2$ и $d_{99}$. Делитель $d_{99}$ является вторым по величине. Его можно представить как $n/d_2$. Их произведение: $d_2 \cdot d_{99} = d_2 \cdot \frac{n}{d_2} = n$.
• В общем виде, для любого $i$ от 1 до 100, делитель $d_{101-i}$ равен $n/d_i$. Следовательно, произведение в каждой паре $(d_i, d_{101-i})$ равно $d_i \cdot d_{101-i} = d_i \cdot \frac{n}{d_i} = n$.

Поскольку общее количество делителей равно 100 (четное число), все делители можно разбить на пары без остатка. Если бы число делителей было нечетным, это означало бы, что $n$ является полным квадратом, и один из делителей (а именно $\sqrt{n}$) был бы в паре сам с собой. В нашем случае это не так.

Количество таких пар равно половине общего числа делителей: $100 / 2 = 50$ пар.

Теперь мы можем вычислить искомое произведение $P$ как произведение всех этих пар: $P = (d_1 \cdot d_{100}) \cdot (d_2 \cdot d_{99}) \cdot \ldots \cdot (d_{50} \cdot d_{51})$.

Поскольку произведение в каждой паре равно $n$, мы получаем: $P = \underbrace{n \cdot n \cdot \ldots \cdot n}_{50 \text{ раз}}$.

Таким образом, произведение всех 100 натуральных делителей числа $n$ равно $n^{50}$.

Ответ: $n^{50}$