Номер 3, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Какую функцию называют возрастающей на некотором промежутке?

Функция $y = f(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких, что $x_2$ больше $x_1$, соответствующее значение функции $f(x_2)$ также будет больше значения функции $f(x_1)$.

Простыми словами, при увеличении значения аргумента $x$ (при движении вправо по оси абсцисс) значение функции $y$ также увеличивается (график функции «идет вверх»).

Формальное определение в математической записи выглядит так:
Функция $f(x)$ возрастает на промежутке $I$, если для любых $x_1 \in I$ и $x_2 \in I$ из условия $x_2 > x_1$ следует неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.
С использованием кванторов это можно записать как: $\forall x_1, x_2 \in I: x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2) > f(x_1)$.
Такое возрастание также называют строгим возрастанием, чтобы отличить от неубывания, где в неравенстве допускается знак равенства ($f(x_2) \geq f(x_1)$).

Например, функция $y = x^3$ является возрастающей на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$, так как для любых $x_1$ и $x_2$, если $x_2 > x_1$, то и $x_2^3 > x_1^3$. В то же время, функция $y = x^2$ возрастает только на промежутке $[0; +\infty)$, а на промежутке $(-\infty; 0]$ она убывает. Это показывает, что свойство возрастания функции рассматривается на конкретном промежутке.

Ответ: Функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух точек из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.