Номер 6, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. Что называют областью значений функции?

6.

Областью значений (или множеством значений) функции $y = f(x)$ называют множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$, когда независимая переменная $x$ (аргумент) пробегает всю свою область определения.

Другими словами, это совокупность всех возможных результатов (значений $y$), которые можно получить, подставляя в функцию все допустимые значения аргумента $x$. Область значений функции принято обозначать как $E(f)$ или $E(y)$.

Для наглядности рассмотрим пример. Возьмем функцию $y = x^2 + 3$.

1. Область определения этой функции (все допустимые значения $x$) — это все действительные числа, т.е. $D(y): x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Проанализируем, какие значения может принимать $y$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$.

3. Наименьшее значение $x^2$ равно $0$ (когда $x=0$). Следовательно, наименьшее значение для $y$ будет $y_{min} = 0^2 + 3 = 3$.

4. Поскольку $x^2$ может быть сколь угодно большим, то и значение $y$ может быть сколь угодно большим.

Таким образом, функция $y = x^2 + 3$ может принимать любые значения от $3$ включительно и до плюс бесконечности. Это и есть ее область значений.

Записывается это так: $E(y) = [3; +\infty)$.

Ответ: Областью значений функции называется множество всех значений, которые принимает зависимая переменная (функция) при всех значениях аргумента, принадлежащих области определения функции.