Номер 8, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

8. Какие способы задания функции вы знаете?

Функция — это зависимость переменной $y$ от переменной $x$, при которой каждому значению переменной $x$ из некоторого множества (области определения) соответствует единственное значение переменной $y$. Задать функцию — значит указать правило этой зависимости. Существует несколько основных способов задания функции.

Аналитический способ

Это способ задания функции с помощью одной или нескольких математических формул. Формула устанавливает алгоритм, по которому для каждого значения независимой переменной (аргумента) $x$ можно вычислить соответствующее значение зависимой переменной (функции) $y$. Этот способ является наиболее компактным и универсальным, так как позволяет точно находить значения функции и применять к ней методы математического анализа.

Например:

• Линейная функция задается формулой $y = 2x + 1$.
• Квадратичная функция — $y = x^2 - 4x + 3$.
• Функция может быть задана и кусочно, то есть разными формулами на разных интервалах области определения: $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{ если } x < 0 \\ x, & \text{ если } x \ge 0 \end{cases}$

Ответ:

Табличный способ

При этом способе функция задается с помощью таблицы, содержащей два столбца или две строки. В одной указываются значения аргумента $x$, а в другой — соответствующие им значения функции $y$. Этот способ удобен, когда область определения состоит из конечного числа значений, или когда значения функции получены в результате эксперимента (например, таблица погоды, где температура является функцией времени).

Например, зависимость между номером дня недели и его названием:

Основной недостаток табличного способа — он представляет функцию не полностью, а лишь для ограниченного набора аргументов.

Ответ:

Графический способ

Функция задается с помощью ее графика. График функции — это множество всех точек $(x, y)$ на координатной плоскости, где $x$ — значение аргумента, а $y = f(x)$ — соответствующее значение функции. Этот способ обладает высокой наглядностью, позволяя сразу увидеть ключевые свойства функции: монотонность (возрастание/убывание), нули, экстремумы (максимумы и минимумы), непрерывность.

Чтобы кривая на плоскости была графиком функции, любая вертикальная прямая, параллельная оси ординат, должна пересекать эту кривую не более чем в одной точке. Графики широко применяются в научных исследованиях и для визуализации данных.

Ответ:

Словесный способ

Это способ, при котором правило задания функции описывается словами на естественном языке. Он применяется, когда зависимость проста для словесного описания или, наоборот, слишком сложна для задания одной формулой.

Например:

• "Каждому положительному числу $x$ ставится в соответствие число $1$, каждому отрицательному — число $-1$, а числу $0$ — число $0$". Это словесное описание функции "знак числа" (сигнум), $y = \text{sgn}(x)$.
• "Функция Дирихле $D(x)$ принимает значение $1$, если аргумент $x$ является рациональным числом, и значение $0$, если $x$ — иррациональное число". Эту функцию невозможно задать одной элементарной формулой или наглядно изобразить на графике.

Ответ: