Страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

307. График какой функции получим, если график функции $y = x^2$ параллельно перенесём:

1) на 6 единиц вверх;

2) на 9 единиц вправо;

3) на 12 единиц вниз;

4) на 7 единиц влево;

5) на 2 единицы вправо и на 3 единицы вниз;

6) на 1 единицу влево и на 1 единицу вверх?

Для решения задачи используются правила параллельного переноса графика функции $y = f(x)$ вдоль осей координат. Общий вид функции, полученной из $y=f(x)$ параллельным переносом, таков: $y = f(x - a) + b$, где $a$ — величина сдвига по горизонтали (вправо при $a > 0$, влево при $a < 0$), а $b$ — величина сдвига по вертикали (вверх при $b > 0$, вниз при $b < 0$).

Исходная функция: $y = x^2$.

1) на 6 единиц вверх

Перенос графика вверх на 6 единиц означает, что к значению функции нужно прибавить 6. Это соответствует сдвигу по вертикали, где $b = 6$.
Новая функция имеет вид: $y = x^2 + 6$.
Ответ: $y = x^2 + 6$.

2) на 9 единиц вправо

Перенос графика вправо на 9 единиц означает, что аргумент $x$ нужно заменить на $(x - 9)$. Это соответствует сдвигу по горизонтали, где $a = 9$.
Новая функция имеет вид: $y = (x - 9)^2$.
Ответ: $y = (x - 9)^2$.

3) на 12 единиц вниз

Перенос графика вниз на 12 единиц означает, что из значения функции нужно вычесть 12. Это соответствует сдвигу по вертикали, где $b = -12$.
Новая функция имеет вид: $y = x^2 - 12$.
Ответ: $y = x^2 - 12$.

4) на 7 единиц влево

Перенос графика влево на 7 единиц означает, что аргумент $x$ нужно заменить на $(x + 7)$. Это соответствует сдвигу по горизонтали, где $a = -7$.
Новая функция имеет вид: $y = (x - (-7))^2 = (x + 7)^2$.
Ответ: $y = (x + 7)^2$.

5) на 2 единицы вправо и на 3 единицы вниз

Это комбинированный перенос. Сдвиг вправо на 2 единицы ($a = 2$) и вниз на 3 единицы ($b = -3$).
Заменяем $x$ на $(x - 2)$ и вычитаем 3 из всей функции.
Новая функция имеет вид: $y = (x - 2)^2 - 3$.
Ответ: $y = (x - 2)^2 - 3$.

6) на 1 единицу влево и на 1 единицу вверх

Это комбинированный перенос. Сдвиг влево на 1 единицу ($a = -1$) и вверх на 1 единицу ($b = 1$).
Заменяем $x$ на $(x + 1)$ и прибавляем 1 ко всей функции.
Новая функция имеет вид: $y = (x + 1)^2 + 1$.
Ответ: $y = (x + 1)^2 + 1$.

308. График какой из данных функций получим, если параллельно перенесём график функции $y = x^2$ на 4 единицы вправо:

1) $y = x^2 + 4;$

2) $y = x^2 - 4;$

3) $y = (x + 4)^2;$

4) $y = (x - 4)^2?$

Для решения данной задачи необходимо применить правило параллельного переноса графика функции вдоль оси абсцисс (горизонтальный сдвиг).

Общее правило гласит: чтобы сдвинуть график функции $y = f(x)$ на $a$ единиц вправо, необходимо заменить аргумент $x$ на выражение $(x - a)$. Таким образом, уравнение новой функции будет $y = f(x - a)$. Если же сдвиг происходит влево на $a$ единиц, то уравнение будет $y = f(x + a)$.

В нашем случае исходная функция — это парабола $y = x^2$. Обозначим её как $f(x) = x^2$.

Согласно условию, мы должны перенести этот график на 4 единицы вправо. Это означает, что величина сдвига $a = 4$.

Используем правило для сдвига вправо: $y = f(x - a)$. Подставим наши значения: $f(x) = x^2$ и $a = 4$.

$y = f(x - 4) = (x - 4)^2$

Таким образом, функция, график которой мы ищем, имеет вид $y = (x - 4)^2$.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответов:

1) $y = x^2 + 4$. Это график функции $y = x^2$, сдвинутый на 4 единицы вверх вдоль оси ординат.

2) $y = x^2 - 4$. Это график функции $y = x^2$, сдвинутый на 4 единицы вниз вдоль оси ординат.

3) $y = (x + 4)^2$. Это график функции $y = x^2$, сдвинутый на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс.

4) $y = (x - 4)^2$. Это график функции $y = x^2$, сдвинутый на 4 единицы вправо вдоль оси абсцисс. Этот вариант полностью соответствует нашему решению.

Ответ: 4).

309. График какой из данных функций получим, если параллельно перенесём график функции $y = x^2$ на 5 единиц вверх:

1) $y = x^2 + 5$;

2) $y = x^2 - 5$;

3) $y = (x + 5)^2$;

4) $y = (x - 5)^2$?

Для того чтобы определить, график какой функции получится в результате параллельного переноса, необходимо применить правила преобразования графиков.

Параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y = f(x)$ выполняется по следующим правилам:

Сдвиг вдоль оси ординат OY (вертикальный сдвиг):
- для сдвига на $c$ единиц вверх, новая функция будет иметь вид $y = f(x) + c$.
- для сдвига на $c$ единиц вниз, новая функция будет иметь вид $y = f(x) - c$.

Сдвиг вдоль оси абсцисс OX (горизонтальный сдвиг):
- для сдвига на $c$ единиц влево, новая функция будет иметь вид $y = f(x + c)$.
- для сдвига на $c$ единиц вправо, новая функция будет иметь вид $y = f(x - c)$.

В условии задачи дана исходная функция $y = x^2$. Необходимо выполнить параллельный перенос её графика на 5 единиц вверх.

В этом случае мы имеем дело с вертикальным сдвигом вверх. Исходная функция $f(x) = x^2$, а величина сдвига $c = 5$. Согласно правилу, мы должны прибавить константу $c$ к исходной функции.

Таким образом, искомая функция будет выглядеть так: $y = f(x) + c \Rightarrow y = x^2 + 5$.

Теперь проанализируем предложенные варианты:

1) $y = x^2 + 5$
Эта функция получена путем прибавления 5 к функции $y = x^2$. Это соответствует сдвигу графика на 5 единиц вверх, что полностью совпадает с условием задачи.

2) $y = x^2 - 5$
Эта функция соответствует сдвигу графика $y = x^2$ на 5 единиц вниз.

3) $y = (x + 5)^2$
Эта функция соответствует сдвигу графика $y = x^2$ на 5 единиц влево.

4) $y = (x - 5)^2$
Эта функция соответствует сдвигу графика $y = x^2$ на 5 единиц вправо.

Следовательно, правильный ответ находится под номером 1.

Ответ: 1) $y = x^2 + 5$.

310. Каковы координаты вершины параболы:

1) $y = x^2 + 8;$

2) $y = x^2 - 8;$

3) $y = (x + 8)^2;$

4) $y = (x - 8)^2;$

5) $y = (x - 4)^2 + 3;$

6) $y = (x + 4)^2 + 3;$

7) $y = (x - 4)^2 - 3;$

8) $y = (x + 4)^2 - 3?$

Для нахождения координат вершины параболы используется вершинная форма уравнения параболы: $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — это координаты вершины. Эта форма получается путем выделения полного квадрата из стандартного вида $y = ax^2 + bx + c$. Во всех предложенных задачах уравнение уже дано в вершинной форме или очень близко к ней.

1) Дано уравнение параболы $y = x^2 + 8$. Это уравнение можно переписать в стандартной вершинной форме как $y = (x - 0)^2 + 8$. Сравнивая это с $y = a(x - h)^2 + k$, мы видим, что $h = 0$ и $k = 8$. Таким образом, координаты вершины параболы находятся в точке $(0, 8)$.
Ответ: $(0, 8)$.

2) Дано уравнение параболы $y = x^2 - 8$. Перепишем его в виде $y = (x - 0)^2 - 8$. Из сравнения с вершинной формой $y = a(x - h)^2 + k$ получаем, что $h = 0$ и $k = -8$. Следовательно, координаты вершины: $(0, -8)$.
Ответ: $(0, -8)$.

3) Дано уравнение параболы $y = (x + 8)^2$. Его можно представить как $y = (x - (-8))^2 + 0$. Сравнивая с $y = a(x - h)^2 + k$, находим, что $h = -8$ и $k = 0$. Координаты вершины параболы: $(-8, 0)$.
Ответ: $(-8, 0)$.

4) Дано уравнение параболы $y = (x - 8)^2$. Его можно представить как $y = (x - 8)^2 + 0$. Из сравнения с $y = a(x - h)^2 + k$ следует, что $h = 8$ и $k = 0$. Координаты вершины параболы: $(8, 0)$.
Ответ: $(8, 0)$.

5) Уравнение параболы $y = (x - 4)^2 + 3$ уже представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$. Отсюда напрямую видно, что $h = 4$ и $k = 3$. Координаты вершины: $(4, 3)$.
Ответ: $(4, 3)$.

6) Уравнение параболы $y = (x + 4)^2 + 3$. Перепишем его как $y = (x - (-4))^2 + 3$. Сравнивая с $y = a(x - h)^2 + k$, получаем, что $h = -4$ и $k = 3$. Координаты вершины: $(-4, 3)$.
Ответ: $(-4, 3)$.

7) Уравнение параболы $y = (x - 4)^2 - 3$ дано в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$. Отсюда следует, что $h = 4$ и $k = -3$. Координаты вершины: $(4, -3)$.
Ответ: $(4, -3)$.

8) Уравнение параболы $y = (x + 4)^2 - 3$. Представим его в виде $y = (x - (-4))^2 - 3$. Сравнивая с $y = a(x - h)^2 + k$, находим, что $h = -4$ и $k = -3$. Координаты вершины: $(-4, -3)$.
Ответ: $(-4, -3)$.

311. В какой координатной четверти находится вершина параболы:

1) $y = (x + 10)^2 - 16;$

2) $y = (x - 11)^2 + 15;$

3) $y = (x + 15)^2 + 4;$

4) $y = (x - 11)^2 - 9?$

Для определения координатной четверти вершины параболы необходимо найти ее координаты $(h, k)$ из уравнения, представленного в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$. Знак координат определяет четверть: I четверть ($x > 0, y > 0$), II четверть ($x < 0, y > 0$), III четверть ($x < 0, y < 0$), IV четверть ($x > 0, y < 0$).

1) Уравнение параболы $y = (x + 10)^2 - 16$.Данное уравнение можно переписать в стандартном виде $y = (x - (-10))^2 + (-16)$.Сравнивая с общей формулой $y = (x - h)^2 + k$, находим координаты вершины $(h, k)$.Абсцисса вершины $h = -10$.Ордината вершины $k = -16$.Координаты вершины — точка $(-10, -16)$.Поскольку обе координаты отрицательны ($x < 0$ и $y < 0$), вершина параболы находится в III координатной четверти.
Ответ: III четверть.

2) Уравнение параболы $y = (x - 11)^2 + 15$.Уравнение уже представлено в стандартном виде $y = (x - h)^2 + k$.Абсцисса вершины $h = 11$.Ордината вершины $k = 15$.Координаты вершины — точка $(11, 15)$.Поскольку обе координаты положительны ($x > 0$ и $y > 0$), вершина параболы находится в I координатной четверти.
Ответ: I четверть.

3) Уравнение параболы $y = (x + 15)^2 + 4$.Перепишем уравнение в виде $y = (x - (-15))^2 + 4$.Абсцисса вершины $h = -15$.Ордината вершины $k = 4$.Координаты вершины — точка $(-15, 4)$.Поскольку абсцисса отрицательна ($x < 0$), а ордината положительна ($y > 0$), вершина параболы находится во II координатной четверти.
Ответ: II четверть.

4) Уравнение параболы $y = (x - 11)^2 - 9$.Уравнение представлено в виде $y = (x - h)^2 + k$.Абсцисса вершины $h = 11$.Ордината вершины $k = -9$.Координаты вершины — точка $(11, -9)$.Поскольку абсцисса положительна ($x > 0$), а ордината отрицательна ($y < 0$), вершина параболы находится в IV координатной четверти.
Ответ: IV четверть.

312. Как надо параллельно перенести график функции $y = \frac{5}{x}$, чтобы получить график функции $y = \frac{5}{x - 8}$:

1) на 8 единиц вверх;

2) на 8 единиц вниз;

3) на 8 единиц вправо;

4) на 8 единиц влево?

Чтобы определить, как нужно параллельно перенести график функции $y = \frac{5}{x}$, чтобы получить график функции $y = \frac{5}{x - 8}$, воспользуемся общими правилами преобразования графиков функций.

Пусть дана функция $y = f(x)$.

Преобразование вида $y = f(x - a)$ соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y = f(x)$ вдоль горизонтальной оси Ox: - если $a > 0$, то сдвиг происходит на $a$ единиц вправо; - если $a < 0$, то сдвиг происходит на $|a|$ единиц влево.

Преобразование вида $y = f(x) + b$ соответствует параллельному переносу графика функции $y = f(x)$ вдоль вертикальной оси Oy: - если $b > 0$, то сдвиг происходит на $b$ единиц вверх; - если $b < 0$, то сдвиг происходит на $|b|$ единиц вниз.

В нашем случае исходная функция — это $f(x) = \frac{5}{x}$. Новая функция $y = \frac{5}{x - 8}$ получается из исходной путем замены аргумента $x$ на выражение $(x - 8)$. Таким образом, новая функция имеет вид $y = f(x - 8)$.

Это преобразование соответствует случаю $y = f(x - a)$, где $a = 8$.

Поскольку $a = 8$ является положительным числом ($8 > 0$), это означает, что график исходной функции сдвигается на 8 единиц вправо.

Проанализируем предложенные варианты ответов:

1) на 8 единиц вверх
Такой перенос соответствует функции $y = f(x) + 8 = \frac{5}{x} + 8$. Это неверный вариант.

2) на 8 единиц вниз
Такой перенос соответствует функции $y = f(x) - 8 = \frac{5}{x} - 8$. Это неверный вариант.

3) на 8 единиц вправо
Такой перенос соответствует функции $y = f(x - 8) = \frac{5}{x - 8}$. Это верный вариант.

4) на 8 единиц влево
Такой перенос соответствует функции $y = f(x - (-8)) = f(x + 8) = \frac{5}{x + 8}$. Это неверный вариант.

Ответ: 3) на 8 единиц вправо.

313. Как надо параллельно перенести график функции $y = \sqrt{x}$, чтобы получить график функции $y = \sqrt{x+10}$:

1) на 10 единиц вверх;

2) на 10 единиц вниз;

3) на 10 единиц вправо;

4) на 10 единиц влево?

Для решения этой задачи необходимо использовать правила преобразования графиков функций, а именно правила параллельного переноса (сдвига) графика функции $y = f(x)$.

• Вертикальный сдвиг: График функции $y = f(x) + b$ получается из графика $y=f(x)$ сдвигом на $b$ единиц по вертикали (вверх, если $b > 0$, и вниз, если $b < 0$).
• Горизонтальный сдвиг: График функции $y = f(x-a)$ получается из графика $y=f(x)$ сдвигом на $a$ единиц по горизонтали (вправо, если $a > 0$, и влево, если $a < 0$).

В данном случае исходная функция — это $f(x) = \sqrt{x}$. Мы хотим получить график функции $y = \sqrt{x+10}$.

Целевую функцию $y = \sqrt{x+10}$ можно представить в виде $y = f(x+10)$. Это соответствует правилу горизонтального сдвига. Чтобы привести это выражение к стандартному виду $y = f(x-a)$, запишем его как $y = f(x - (-10))$.

Отсюда мы видим, что $a = -10$. Так как $a < 0$, это означает сдвиг графика влево на $|a| = |-10| = 10$ единиц.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

Параллельный перенос графика функции $y=\sqrt{x}$ на 10 единиц вверх приводит к функции вида $y = \sqrt{x} + 10$. Это не совпадает с целевой функцией $y=\sqrt{x+10}$.

Ответ: неверно.

Параллельный перенос графика функции $y=\sqrt{x}$ на 10 единиц вниз приводит к функции вида $y = \sqrt{x} - 10$. Это не совпадает с целевой функцией $y=\sqrt{x+10}$.

Ответ: неверно.

Параллельный перенос графика функции $y=\sqrt{x}$ на 10 единиц вправо (соответствует $a=10$) приводит к функции вида $y = \sqrt{x-10}$. Это не совпадает с целевой функцией $y=\sqrt{x+10}$.

Ответ: неверно.

Параллельный перенос графика функции $y=\sqrt{x}$ на 10 единиц влево (соответствует $a=-10$) приводит к функции вида $y = \sqrt{x-(-10)}$, что равносильно $y = \sqrt{x+10}$. Это в точности совпадает с целевой функцией.

Ответ: верно.