Номер 328, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

328. Задайте формулой вида $y = a(x + m)^2 + n$ функцию, график которой изображён на рисунке 58.

Рис. 58

a

б

а Общий вид уравнения параболы, заданный в условии, — $y = a(x + m)^2 + n$. Координаты вершины такой параболы равны $(-m, n)$. Из графика для параболы 'а' видно, что ее вершина находится в точке $(3, -5)$. Приравнивая координаты, получаем: $-m = 3$ и $n = -5$. Отсюда следует, что $m = -3$ и $n = -5$. Уравнение принимает вид $y = a(x - 3)^2 - 5$. Чтобы найти коэффициент $a$, возьмем на графике еще одну точку, принадлежащую параболе. Например, точка с координатами $(1, -1)$. Подставим ее координаты в уравнение: $-1 = a(1 - 3)^2 - 5$. Упростим выражение: $-1 = a(-2)^2 - 5$, что дает $-1 = 4a - 5$. Решая это линейное уравнение, получаем $4a = 4$, следовательно, $a = 1$. Итоговая формула функции: $y = (x - 3)^2 - 5$.
Ответ: $y=(x-3)^2-5$.

б Для параболы 'б' действуем аналогично. Координаты ее вершины, как видно из графика, равны $(-6, 7)$. Из общей формулы $y = a(x + m)^2 + n$ следует, что вершина находится в точке $(-m, n)$. Таким образом, $-m = -6$ и $n = 7$, что означает $m = 6$ и $n = 7$. Уравнение параболы имеет вид $y = a(x + 6)^2 + 7$. Ветви параболы направлены вниз, значит, коэффициент $a$ должен быть отрицательным. Для его нахождения выберем на графике еще одну точку, например, $(-5, 6)$. Подставим ее координаты в уравнение: $6 = a(-5 + 6)^2 + 7$. Упрощаем: $6 = a(1)^2 + 7$, что дает $6 = a + 7$. Отсюда находим $a = -1$. Итоговая формула функции: $y = -(x + 6)^2 + 7$.
Ответ: $y=-(x+6)^2+7$.