Номер 335, страница 93 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

335. Задайте данную функцию формулой вида $y = \frac{k}{x+a} + b$ и постройте её график, используя график функции $y = \frac{k}{x}$:

1) $y = \frac{4x+14}{x+1}$;

2) $y = \frac{7-x}{x-2}$.

Дана функция $y = \frac{4x+14}{x+1}$.

Для того чтобы представить её в виде $y = \frac{k}{x+a} + b$, выделим целую часть из дроби. Для этого преобразуем числитель:

$4x+14 = 4x+4+10 = 4(x+1)+10$.

Теперь подставим это выражение обратно в формулу функции:

$y = \frac{4(x+1)+10}{x+1} = \frac{4(x+1)}{x+1} + \frac{10}{x+1} = 4 + \frac{10}{x+1}$.

Таким образом, функция принимает вид $y = \frac{10}{x+1} + 4$.

Для построения графика этой функции, мы используем график базовой функции $y = \frac{10}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты этой гиперболы — оси координат $x=0$ и $y=0$.

График функции $y = \frac{10}{x+1} + 4$ получается из графика функции $y = \frac{10}{x}$ с помощью двух последовательных преобразований:

1. Сдвиг графика $y = \frac{10}{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Получаем график функции $y = \frac{10}{x+1}$. Вертикальная асимптота смещается в положение $x=-1$.
2. Сдвиг полученного графика на 4 единицы вверх вдоль оси Oy. Получаем график искомой функции $y = \frac{10}{x+1} + 4$. Горизонтальная асимптота смещается в положение $y=4$.

Итак, график функции $y = \frac{4x+14}{x+1}$ — это гипербола с асимптотами $x=-1$ и $y=4$, полученная сдвигом графика $y=\frac{10}{x}$ на 1 единицу влево и на 4 единицы вверх.

Ответ: $y = \frac{10}{x+1} + 4$. График функции — гипербола, полученная из графика $y=\frac{10}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево и 4 единицы вверх. Асимптоты: $x=-1$, $y=4$.

Дана функция $y = \frac{7-x}{x-2}$.

Представим её в виде $y = \frac{k}{x+a} + b$. Сначала преобразуем числитель, чтобы выделить в нём выражение, равное знаменателю $(x-2)$:

$7-x = -x+7 = -(x-7) = -(x-2-5) = -(x-2) + 5$.

Подставим полученное выражение в формулу функции:

$y = \frac{-(x-2)+5}{x-2} = \frac{-(x-2)}{x-2} + \frac{5}{x-2} = -1 + \frac{5}{x-2}$.

Таким образом, функция принимает вид $y = \frac{5}{x-2} - 1$.

Для построения графика этой функции, мы используем график базовой функции $y = \frac{5}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях ($k=5>0$). Асимптоты этой гиперболы — оси координат $x=0$ и $y=0$.

График функции $y = \frac{5}{x-2} - 1$ получается из графика функции $y = \frac{5}{x}$ с помощью двух последовательных преобразований:

1. Сдвиг графика $y = \frac{5}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Получаем график функции $y = \frac{5}{x-2}$. Вертикальная асимптота смещается в положение $x=2$.
2. Сдвиг полученного графика на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Получаем график искомой функции $y = \frac{5}{x-2} - 1$. Горизонтальная асимптота смещается в положение $y=-1$.

Итак, график функции $y = \frac{7-x}{x-2}$ — это гипербола с асимптотами $x=2$ и $y=-1$, полученная сдвигом графика $y=\frac{5}{x}$ на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз.

Ответ: $y = \frac{5}{x-2} - 1$. График функции — гипербола, полученная из графика $y=\frac{5}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо и 1 единицу вниз. Асимптоты: $x=2$, $y=-1$.