Номер 3, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. По какой формуле можно найти абсциссу вершины параболы

$y = ax^2 + bx + c$?

Абсцисса (координата по оси $x$) вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, — это координата $x$ точки, в которой функция достигает своего экстремума (минимума, если ветви параболы направлены вверх при $a > 0$, или максимума, если ветви направлены вниз при $a < 0$). Формулу для нахождения этой координаты можно вывести несколькими способами.

Способ 1: Через производную
Вершина параболы является точкой экстремума. Необходимым условием экстремума для дифференцируемой функции является равенство её производной нулю.
1. Найдём производную функции $y(x) = ax^2 + bx + c$ по переменной $x$:
$y' = (ax^2 + bx + c)' = 2ax + b$
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссу вершины, которую обозначим как $x_0$:
$2ax_0 + b = 0$
3. Решим полученное линейное уравнение относительно $x_0$:
$2ax_0 = -b$
$x_0 = -\frac{b}{2a}$

Способ 2: Методом выделения полного квадрата
Уравнение параболы можно привести к каноническому виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины.
1. Вынесем коэффициент $a$ за скобки у слагаемых, содержащих $x$:
$y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$
2. Дополним выражение в скобках до полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем квадрат половины коэффициента при $x$, то есть $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$:
$y = a\left(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c$
3. Свернём полный квадрат по формуле $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$:
$y = a\left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}\right) + c$
4. Раскроем скобки и преобразуем выражение к каноническому виду:
$y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$
$y = a\left(x - \left(-\frac{b}{2a}\right)\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$
Сравнивая полученное уравнение с видом $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, мы видим, что абсцисса вершины $x_0$ равна $-\frac{b}{2a}$.

Оба способа приводят к одной и той же формуле.

Ответ: Абсциссу вершины параболы $y=ax^2+bx+c$ можно найти по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.