Номер 4, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Какая прямая является осью симметрии параболы $y = ax^2 + bx + c$?

Осью симметрии параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, является вертикальная прямая, которая проходит через вершину этой параболы. Каждая точка параболы имеет симметричную ей точку относительно этой оси.

Для нахождения уравнения этой прямой необходимо найти абсциссу (координату $x$) вершины параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ можно найти, преобразовав уравнение к виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ с помощью метода выделения полного квадрата.

Проведем преобразование для общего уравнения параболы:

$y = ax^2 + bx + c$

Вынесем коэффициент $a$ за скобки:

$y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$

Дополним выражение в скобках до полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем квадрат половины второго коэффициента, то есть $(\frac{b}{2a})^2$:

$y = a(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$

Теперь свернем полный квадрат:

$y = a((x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}) + c$

Раскроем внешние скобки:

$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$

$y = a(x - (-\frac{b}{2a}))^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$

Из полученного канонического вида уравнения видно, что абсцисса вершины параболы $x_0$ равна $-\frac{b}{2a}$.

Поскольку ось симметрии является вертикальной прямой, проходящей через вершину, ее уравнение имеет вид $x = x_0$. Следовательно, осью симметрии параболы $y = ax^2 + bx + c$ является прямая, заданная уравнением $x = -\frac{b}{2a}$.

Ответ: осью симметрии параболы $y = ax^2 + bx + c$ является прямая $x = -\frac{b}{2a}$.