Номер 330, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

330. Решите графически уравнение $\frac{3}{x} = \sqrt{x} + 2$.

Для того чтобы решить уравнение $\frac{3}{x} = \sqrt{x} + 2$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций, соответствующих левой и правой частям уравнения: $y = \frac{3}{x}$ и $y = \sqrt{x} + 2$. Абсцисса (координата $x$) точки пересечения этих графиков и будет являться решением исходного уравнения.

Сначала построим график функции $y = \frac{3}{x}$. Это обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Область определения функции $x \neq 0$. Так как вторая функция $y = \sqrt{x} + 2$ определена только для $x \ge 0$, нас интересует только та ветвь гиперболы, которая расположена в первой координатной четверти (при $x > 0$). Составим таблицу значений для этой ветви:

• при $x = 1$, $y = 3$;
• при $x = 3$, $y = 1$;
• при $x = 0.5$, $y = 6$.

Теперь построим график функции $y = \sqrt{x} + 2$. График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Область определения этой функции $x \ge 0$. Составим таблицу значений для этого графика:

• при $x = 0$, $y = \sqrt{0} + 2 = 2$;
• при $x = 1$, $y = \sqrt{1} + 2 = 3$;
• при $x = 4$, $y = \sqrt{4} + 2 = 4$.

Построим оба графика на одной координатной плоскости. График $y = \frac{3}{x}$ (для $x > 0$) является кривой, проходящей через точки $(0.5, 6)$, $(1, 3)$, $(3, 1)$. График $y = \sqrt{x} + 2$ — это кривая, выходящая из точки $(0, 2)$ и проходящая через точки $(1, 3)$ и $(4, 4)$.

Из построения и анализа таблиц значений видно, что графики пересекаются в одной точке с координатами $(1, 3)$.

Абсцисса точки пересечения $x=1$ и является решением уравнения. Проверим подстановкой в исходное уравнение:

$\frac{3}{1} = \sqrt{1} + 2$

$3 = 1 + 2$

$3 = 3$

Равенство верное.

Ответ: $x=1$.